《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例1　(1) (2024·新课标全国I) 若曲线$y = e^x + x$在点$(0,1)$处的切线也是曲线$y = \ln(x + 1) + a$的切线，则$a =$________。

答案： 例1 （1）ln 2

(2) 已知函数$f(x) = (x + a)^2 + \ln x$的图象上存在不同的两点$A$，$B$，使得曲线$y = f(x)$在点$A$，$B$处的切线都与直线$x + 2y = 0$垂直，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,1 - \sqrt{2})$
B. $(1 - \sqrt{2},0)$
C. $(-\infty,1 + \sqrt{2})$
D. $(0,1 + \sqrt{2})$

答案： （2）A

跟踪演练1　(1) (2024·全国甲卷) 设函数$f(x) = \frac{e^x + 2\sin x}{1 + x^2}$，则曲线$y = f(x)$在点$(0,1)$处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： 跟踪演练1 （1）A

(2) 过坐标原点作曲线$f(x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$的切线，则切线共有（ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

答案： 跟踪演练1 （2）A

例2　已知函数$f(x) = (x - 2)e^x + \frac{a}{2}x^2 - ax$。讨论函数$f(x)$的单调性。
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答案： 例2 解 $f(x)=(x - 2)e^{x}+\frac{a}{2}x^{2}-ax$，函数$f(x)$的定义域为$R$，$f^{\prime}(x)=(x - 1)e^{x}+a(x - 1)=(x - 1)(e^{x}+a)$。①当$a\geqslant0$时，若$x\in(-\infty,1)$，则$f^{\prime}(x)＜0$，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减；若$x\in(1,+\infty)$，则$f^{\prime}(x)＞0$，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增。②当$-e ＜ a ＜ 0$时，$\ln(-a)＜1$，若$x\in(-\infty,\ln(-a))\cup(1,+\infty)$，则$f^{\prime}(x)＞0$，所以$f(x)$在$(-\infty,\ln(-a))$，$(1,+\infty)$上单调递增；若$x\in(\ln(-a),1)$，则$f^{\prime}(x)＜0$，所以$f(x)$在$(\ln(-a),1)$上单调递减。③当$a = -e$时，$\ln(-a)=1$，对$\forall x\in R$，$f^{\prime}(x)\geqslant0$，所以$f(x)$在$R$上单调递增。④当$a ＜ -e$时，$\ln(-a)＞1$，若$x\in(-\infty,1)\cup(\ln(-a),+\infty)$，则$f^{\prime}(x)＞0$，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$，$(\ln(-a),+\infty)$上单调递增；若$x\in(1,\ln(-a))$，则$f^{\prime}(x)＜0$，所以$f(x)$在$(1,\ln(-a))$上单调递减。综上所述，当$a\geqslant0$时，$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增；当$-e ＜ a ＜ 0$时，$f(x)$在$(-\infty,\ln(-a))$，$(1,+\infty)$上单调递增，在$(\ln(-a),1)$上单调递减；当$a = -e$时，$f(x)$在$R$上单调递增；当$a ＜ -e$时，$f(x)$在$(-\infty,1)$，$(\ln(-a),+\infty)$上单调递增，在$(1,\ln(-a))$上单调递减。