《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

跟踪演练2　已知函数$f(x) = x[1 - \ln(kx)]$。
(1) 若$f(x)$在$x = e$处的切线与直线$y = x$垂直，求实数$k$的值；
(2) 讨论$f(x)$的单调性。
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答案： 跟踪演练2 解 （1）因为$f(x)=x[1-\ln(kx)]$，$k\neq0$，所以$f^{\prime}(x)=-\ln(kx)$，$f(x)$在$x = e$处的切线与直线$y = x$垂直，所以$f^{\prime}(e)=-\ln(ke)=-1$，解得$k = 1$。（2）由$f(x)=x[1-\ln(kx)]$得$f^{\prime}(x)=-\ln(kx)$，$k\neq0$，当$k＞0$时，$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，令$f^{\prime}(x)=0$得$x=\frac{1}{k}$，当$x\in(0,\frac{1}{k})$时，$f^{\prime}(x)＞0$，当$x\in(\frac{1}{k},+\infty)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，所以$f(x)$在$(0,\frac{1}{k})$上单调递增，在$(\frac{1}{k},+\infty)$上单调递减；当$k＜0$时，$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)$，令$f^{\prime}(x)=0$得$x=\frac{1}{k}$，当$x\in(-\infty,\frac{1}{k})$时，$f^{\prime}(x)＜0$，当$x\in(\frac{1}{k},0)$时，$f^{\prime}(x)＞0$，所以$f(x)$在$(-\infty,\frac{1}{k})$上单调递减，在$(\frac{1}{k},0)$上单调递增。综上所述，当$k＞0$时，$f(x)$在$(0,\frac{1}{k})$上单调递增，在$(\frac{1}{k},+\infty)$上单调递减；当$k＜0$时，$f(x)$在$(-\infty,\frac{1}{k})$上单调递减，在$(\frac{1}{k},0)$上单调递增。

例3　(1) (2023·新高考全国II) 已知函数$f(x) = ae^x - \ln x$在区间$(1,2)$上单调递增，则$a$的最小值为（ ）
A. $e^2$
B. $e$
C. $e^{-1}$
D. $e^{-2}$

答案： 例3 （1）C

(2) (2024·哈尔滨模拟) 已知函数$f(x) = (x - 1)^3 + \sin(x - 1) + 5$，则不等式$f(2x + 1) + f(1 - x) \geq 10$的解集为（ ）
A. $[0, +\infty)$
B. $[1, +\infty)$
C. $[2, +\infty)$
D. $[3, +\infty)$

答案： 例3 （2）A

跟踪演练3　(1) 已知函数$f(x) = \log_2(2^x + 2^{-x}) - \cos x$，设$a = f(\log_{3}2)$，$b = f(-1.5)$，$c = f(3^{-0.2})$，则（ ）
A. $b ＜ c ＜ a$
B. $b ＜ a ＜ c$
C. $a ＜ c ＜ b$
D. $a ＜ b ＜ c$

答案： 跟踪演练3 （1）C

(2) (2024·成都模拟) 已知函数$f(x) = x - \cos x$，若$f(x_1) + f(x_2) = \pi$，则$f(x_1 + x_2)$等于（ ）
A. $\pi - 1$
B. $\pi + 1$
C. $\pi$
D. $0$

答案： 跟踪演练3 （2）B