《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

7. 对于一个向量组a₁，a₂，a₃，…，$a_{n}(n≥3，$$n∈N^{*})，$令$b_{n}=a₁ + a₂ + … + a_{n}，$如果存在$a_{t}(t∈N^{*})，$使得$|a_{t}|≥|a_{t}-b_{n}|，$那么称$a_{t}$是该向量组的“好向量”.
(1)若a₃是向量组a₁，a₂，a₃的“好向量”，且$a_{n}=(n，$x + n)，求实数x的取值范围；
(2)已知a₁，a₂，a₃均是向量组a₁，a₂，a₃的“好向量”，试探究a₁，a₂，a₃的等量关系并加以证明.

答案： 解　
(1)由题意$\vert {a}_{3}\vert \geqslant \vert {a}_{1}+{a}_{2}\vert$，而${a}_{1}=(1,x + 1)$，${a}_{2}=(2,x + 2)$，${a}_{3}=(3,x + 3)$，${a}_{1}+{a}_{2}=(3,2x + 3)$，
所以$\sqrt{9+(x + 3{)}^{2}}\geqslant \sqrt{9+(2x + 3{)}^{2}}$，解得$-2\leqslant x\leqslant 0$，所以$x$的取值范围是$[-2,0]$。
(2)${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}=0$，证明如下：
由题意${a}_{1}$是向量组${a}_{1}$，${a}_{2}$，${a}_{3}$的“好向量”，所以$\vert {a}_{1}\vert \geqslant \vert {a}_{2}+{a}_{3}\vert$，
则$\vert {a}_{1}{\vert }^{2}\geqslant \vert {a}_{2}+{a}_{3}{\vert }^{2}$，即${a}_{1}^{2}\geqslant {a}_{2}^{2}+2{a}_{2}\cdot {a}_{3}+{a}_{3}^{2}$，
同理${a}_{2}^{2}\geqslant {a}_{1}^{2}+2{a}_{1}\cdot {a}_{3}+{a}_{3}^{2}$，${a}_{3}^{2}\geqslant {a}_{2}^{2}+2{a}_{2}\cdot {a}_{1}+{a}_{1}^{2}$，
三式相加并整理得$0\geqslant 2{a}_{1}^{2}+2{a}_{2}^{2}+2{a}_{3}^{2}+2{a}_{1}\cdot {a}_{2}+2{a}_{2}\cdot {a}_{3}+2{a}_{3}\cdot {a}_{1}$，
所以$({a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}{)}^{2}\leqslant 0$，$\vert {a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}\vert \leqslant 0$，所以${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}=0$。

8. 记所有非零向量构成的集合为V，对于a，b∈V，a≠b，定义V(a，b)={x∈V|x·a = x·b}.
(1)若a=( - 1，3)，b=(2， - 6)，求出集合V(a，b)中的三个元素；
(2)若V(a，b)=V(a，c)，其中b≠c，求证：一定存在实数λ₁，λ₂，且λ₁ + λ₂ = 1，使得a = λ₁b + λ₂c.

答案：
(1)解　设$x=(m,n)$，由$x\cdot a=x\cdot b$得$-m + 3n = 2m - 6n$，即$m = 3n$，不妨令$n$取1，2，3，则$m$取3，6，9，
故$V(a,b)$中的三个元素为$(3,1)$，$(6,2)$，$(9,3)$。
(2)证明　先证明$V(a,b)$中的向量都是共线向量，不妨设$a=({a}_{1},{a}_{2})$，$b=({b}_{1},{b}_{2})$，
因为$a\neq b$，所以${a}_{1}-{b}_{1}$，${a}_{2}-{b}_{2}$中至少有一个不为0，
若${a}_{2}-{b}_{2}\neq 0$，记${e}_{1}=(1,-\frac{{a}_{1}-{b}_{1}}{{a}_{2}-{b}_{2}})$，显然${e}_{1}\cdot (a - b)=0$，即${e}_{1}\cdot a={e}_{1}\cdot b$，故${e}_{1}\in V(a,b)$。
任取$v=(x,y)\in V(a,b)$，因为$v\cdot a=v\cdot b$，所以$v\cdot (a - b)=0$，故$x({a}_{1}-{b}_{1})+y({a}_{2}-{b}_{2})=0$，则$y=-\frac{{a}_{1}-{b}_{1}}{{a}_{2}-{b}_{2}}x$，故$v=(x,y)=x{e}_{1}$，则$V(a,b)=\{v\vert v=\lambda {e}_{1},\lambda \in R\}$，则问题得证；
若${a}_{2}-{b}_{2}=0$，${a}_{1}-{b}_{1}\neq 0$，同理可证明$V(a,b)=\{v\vert v=\lambda {e}_{2},\lambda \in R\}$，其中${e}_{2}=(-\frac{{a}_{2}-{b}_{2}}{{a}_{1}-{b}_{1}},1)$；
综上，$V(a,b)$中的向量都是共线向量。
因为$V(a,b)=V(a,c)$，所以不妨设${v}_{1}$，${v}_{2}\in V(a,b)$，${v}_{1}\neq {v}_{2}$，则由$V(a,b)$定义知${v}_{1}\cdot a={v}_{1}\cdot b$，即${v}_{1}\cdot (a - b)=0$，同理${v}_{2}\cdot (a - b)=0$，故${v}_{1}\cdot (a - b)={v}_{2}\cdot (a - b)$，则$(a - b)\in V({v}_{1},{v}_{2})$，同理可得$(a - c)\in V({v}_{1},{v}_{2})$，故$a - b$，$a - c$为共线向量，即存在实数$\lambda$，使$(a - c)=\lambda (a - b)$，即$(1-\lambda )a=-\lambda b + c$，因为$b\neq c$，所以$\lambda \neq 1$，所以$a=-\frac{\lambda }{1-\lambda }b+\frac{1}{1-\lambda }c$。
记${\lambda }_{1}=-\frac{\lambda }{1-\lambda }$，${\lambda }_{2}=\frac{1}{1-\lambda }$，则${\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}=1$，即一定存在实数${\lambda }_{1}$，${\lambda }_{2}$，且${\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}=1$，使得$a={\lambda }_{1}b+{\lambda }_{2}c$。