《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例1　(多选)已知点$P$是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是　　(　　　)
A. 已知点$P(x_0,y_0)$和圆$C:x^2 + y^2 = r^2$，则关于点$P$的极线方程为$x_0x + y_0y = r^2$
B. 已知点$P(x_0,y_0)$在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$外，则点$P$相应的极线方程为$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$
C. 对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x_0,y_0)$对应的极线方程为$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$
D. 对于抛物线$y^2 = 2px$，若点$P(\frac{p}{2},0)$，则对应的极线为抛物线的准线

答案： 例1 ABD [对于A，点P与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x₀,y₀)在圆C的外部，两切点分别为T₁(x₁,y₁)，T₂(x₂,y₂)，
两条切线的方程分别为
xᵢx + yᵢy = r²(i = 1,2)，
∵P(x₀,y₀)在切线上，
∴x₀x₁ + y₀y₁ = r²，
x₀x₂ + y₀y₂ = r²，
∴T₁(x₁,y₁)，T₂(x₂,y₂)在直线x₀x + y₀y = r²上，由两点确定一条直线知直线T₁T₂的方程为x₀x + y₀y = r²，A正确；
对于B，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，两条切线的方程分别为
lₚₐ: $\frac{x₁x}{a²}+\frac{y₁y}{b²}=1$，
lₚ₈: $\frac{x₂x}{a²}+\frac{y₂y}{b²}=1$，
∵P(x₀,y₀)在切线上，
∴$\begin{cases}\frac{x₁x₀}{a²}+\frac{y₁y₀}{b²}=1\\\frac{x₂x₀}{a²}+\frac{y₂y₀}{b²}=1\end{cases}$，
即点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)均满足$\frac{x₀x}{a²}+\frac{y₀y}{b²}=1$，
故切点弦AB所在直线方程，即为点P相应的极线方程，为$\frac{x₀x}{a²}+\frac{y₀y}{b²}=1$，B正确；
对于C，证明方法同椭圆，可得极线方程为$\frac{x₀x}{a²}-\frac{y₀y}{b²}=1$，C错误；
对于D，由阿基米德三角形的性质可知D正确.]

跟踪演练1　过椭圆$C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$内一点$M(3,2)$，作直线$AB$与椭圆交于点$A,B$，作直线$CD$与椭圆交于点$C,D$，过$A,B$分别作椭圆的切线交于点$P$，过$C,D$分别作椭圆的切线交于点$Q$，求$PQ$所在的直线方程为______________。

答案： 跟踪演练1 $\frac{3x}{25}+\frac{2y}{9}=1$