《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

跟踪演练3 (1)设函数$f(x)=x^2+a\ln x$，对任意的$x_1$，$x_2\in(0,+\infty)$且$x_1\neq x_2$，都有$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}\geq2$，则实数$a$的取值范围是______________.

答案： 跟踪演练3　
(1)$[\frac{1}{2},+\infty)$

(2)已知函数$f(x)=e^x - e^{-x}$. 若对任意$x\geq0$，都有$f(x)\geq ax$，则实数$a$的取值范围为____________.

答案： 跟踪演练3　
(2)$(-\infty,2]$

1. (2024·郑州统考)计算器计算$e^x$，$\ln x$，$\sin x$，$\cos x$等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的. “泰勒展开式”的内容为：如果函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内可以进行多次求导数运算，则当$x\neq x_0$时，有$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\frac{f'''(x)}{3!}(x - x_0)^3+\cdots$，其中$f'(x)$是$f(x)$的导数，$f''(x)$是$f'(x)$的导数，$f'''(x)$是$f''(x)$的导数，$\cdots$. 取$x_0 = 0$，则$\sin1$精确到$0.01$的近似值为( )
A. $0.82$
B. $0.84$
C. $0.86$
D. $0.88$

答案： 思维提升　拓展练习1. B

2. (2024·安康模拟)已知$a = e^{0.2}-1$，$b = \ln1.2$，$c=\frac{1}{6}$，则( )
A. $a\lt c\lt b$
B. $b\lt a\lt c$
C. $b\lt c\lt a$
D. $c\lt b\lt a$

答案： 思维提升　拓展练习2. D

3. 已知$a = e^{0.1}-1$，$b = \sin0.1$，$c = \ln1.1$，则( )
A. $a\lt b\lt c$
B. $b\lt c\lt a$
C. $c\lt a\lt b$
D. $c\lt b\lt a$

答案： 思维提升　拓展练习3. D

4. 若$a = \sin\frac{1}{16}$，$b = 2\ln3 - 3\ln2$，$c=\frac{\sqrt{3}}{32}$，则( )
A. $c\lt b\lt a$
B. $a\lt b\lt c$
C. $c\lt a\lt b$
D. $a\lt c\lt b$

答案： 思维提升　拓展练习4. C

5. 已知$a = \tan\frac{1}{2}$，$b=\frac{4}{7}$，$c=\frac{2.023}{4}e^{0.023}$，则( )
A. $c\gt a\gt b$
B. $c\gt b\gt a$
C. $a\gt b\gt c$
D. $a\gt c\gt b$

答案： 思维提升　拓展练习5. B

6. 数学家研究发现，对于任意的$x\in R$，$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!}+\cdots(n\in N^*)$，称为正弦函数的泰勒展开式. 在精度要求不高的情况下，对于给定的实数$x$，可以用这个展开式来求$\sin x$的近似值. 如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心$B$的仰角$\angle BAC = 30^{\circ}$，气球的视角$\alpha = 2^{\circ}$，则该气球的高$BC$约为______米. (精确到1米)

答案： 思维提升　拓展练习 6. 86