《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

跟踪演练1　已知函数$f(x)=\sqrt{3}\cos(\omega x+\frac{\pi}{3}) + \cos(\omega x - \frac{\pi}{6})(\omega＞0)$在$(\frac{\pi}{2},\pi)$上单调递增，则$\omega$的取值范围是　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $[\frac{4}{3},\frac{5}{3}]$　　　　　
B. $[\frac{5}{6},\frac{11}{6}]$
C. $[\frac{5}{3},\frac{11}{6}]$　　　　　
D. $[\frac{7}{6},2]$

答案： 跟踪演练1 C

例2　(2024·杭州模拟)已知$\omega\neq0$，函数$f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{3})$在$(0,\frac{\pi}{2})$上有三条对称轴和两个极小值，则　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\frac{13}{3}＜\omega\leqslant\frac{19}{3}$　　　
B. $\frac{7}{3}＜\omega\leqslant\frac{13}{3}$
C. $-\frac{23}{3}\leqslant\omega＜-\frac{17}{3}$　
D. $-\frac{17}{3}\leqslant\omega＜-\frac{11}{3}$

答案： 例2 C $[\because x \in (0, \frac{\pi}{2})$，
①当$\omega ＞ 0$时，
$\omega x + \frac{\pi}{3} \in (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi\omega}{2} + \frac{\pi}{3})$，
若$f(x)$在$(0, \frac{\pi}{2})$上有两个极小值，
则$f(x)$至少有4条对称轴，不满足题意；
②当$\omega ＜ 0$时，
$\omega x + \frac{\pi}{3} \in (\frac{\pi\omega}{2} + \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$，
又函数$f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{3})$在$(0, \frac{\pi}{2})$上有三条对称轴和两个极小值，
$\therefore -\frac{7\pi}{2} \leqslant \frac{\pi\omega}{2} + \frac{\pi}{3} ＜ -\frac{5\pi}{2}$，
解得$-\frac{23}{3} \leqslant \omega ＜ -\frac{17}{3}$，
综上，$-\frac{23}{3} \leqslant \omega ＜ -\frac{17}{3}$．]

跟踪演练2　(2024·衡水模拟)已知直线$x = \frac{1}{12}$是函数$f(x)=\sin(3\pi x+\varphi)(0＜\varphi＜\frac{\pi}{2})$的一条对称轴，$f(x)$在区间$(-t,t)(t＞0)$内恰好存在3个对称中心，则$t$的取值范围为________.

答案： 跟踪演练2 $(\frac{5}{12}, \frac{7}{12}]$

例3　(2024·武汉模拟)设$\omega＞0$，已知函数$f(x) = \sin(3\omega x - \frac{\pi}{4})\sin(2\omega x + \frac{5\pi}{6})$在$(0,\pi)$上恰有6个零点，则$\omega$的取值范围为　　　　　　(　　　)
A. $(\frac{19}{12},\frac{7}{4}]$　　　　　
B. $(\frac{17}{12},\frac{19}{12}]$
C. $(\frac{13}{12},\frac{17}{12}]$　　　　　
D. $(\frac{3}{4},\frac{13}{12}]$

答案： 例3 B [由题意可知，
令$f(x) = \sin(3\omega x - \frac{\pi}{4}) \cdot \sin(2\omega x + \frac{5\pi}{6}) = 0$，
即$\sin(3\omega x - \frac{\pi}{4}) = 0$或
$\sin(2\omega x + \frac{5\pi}{6}) = 0$，
即$x = \frac{(4k_1 + 1)\pi}{12\omega}$或$x = \frac{(6k_2 - 5)\pi}{12\omega}$，$k_1, k_2 \in \mathbf{Z}$．
则当$x ＞ 0, \omega ＞ 0$时，零点从小到大依次为$x = \frac{\pi}{12\omega}, \frac{5\pi}{12\omega}, \frac{7\pi}{12\omega}, \frac{9\pi}{12\omega}, \frac{13\pi}{12\omega}, \frac{17\pi}{12\omega}, \frac{19\pi}{12\omega}, \cdots$，
因此有$\frac{17\pi}{12\omega} ＜ \pi \leqslant \frac{19\pi}{12\omega}$，
即$\omega$的取值范围为$(\frac{17}{12}, \frac{19}{12}]$．]

跟踪演练3　(2024·渭南模拟)若函数$f(x) = \sin(\omega x - \frac{\pi}{6}) - \cos\omega x(\omega＞0)$在$(0,\pi)$内恰好存在8个$x_0$，使得$|f(x_0)| = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\omega$的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $[\frac{19}{6},\frac{7}{2})$　　　　　
B. $(\frac{19}{6},\frac{7}{2})$
C. $[\frac{7}{2},\frac{25}{6})$　　　　　
D. $(\frac{7}{2},\frac{25}{6}]$

答案： 跟踪演练3 D

例4　(2024·安庆模拟)已知函数$f(x) = 2\cos^2\omega x + \sin2\omega x - 1(\omega＞0)$的图象关于点$(\frac{\pi}{4},0)$对称，且$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$上没有最小值，则$\omega$的值为　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\frac{1}{2}$　　
B. $\frac{3}{2}$　　
C. $\frac{5}{2}$　　
D. $\frac{7}{2}$

答案： 例4 B $[f(x) = 2\cos^2\omega x + \sin2\omega x - 1$
$= \cos2\omega x + \sin2\omega x$
$= \sqrt{2}\sin(2\omega x + \frac{\pi}{4})$，
因为$f(x)$的图象关于点$(\frac{\pi}{4}, 0)$对称，
所以$f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(\frac{\omega\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = 0$，
故$\frac{\omega\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = k\pi, k \in \mathbf{Z}$，
即$\omega = 2k - \frac{1}{2}, k \in \mathbf{Z}$，
当$2\omega x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2k'\pi$，即$x = -\frac{3\pi}{8\omega} + \frac{k'\pi}{\omega}, k' \in \mathbf{Z}$时，函数$f(x)$取得最小值，
因为$f(x)$在$(0, \frac{\pi}{3})$上没有最小值，
所以$\frac{5\pi}{8\omega} \geqslant \frac{\pi}{3}$，即$\omega \leqslant \frac{15}{8}$，
由$\omega = 2k - \frac{1}{2} \leqslant \frac{15}{8}$，解得$k \leqslant \frac{19}{16}$，
又$\omega ＞ 0$，故$k = 1$，得$\omega = \frac{3}{2}$．]

跟踪演练4　(2024·安康模拟)已知函数$f(x) = 2\cos(2x + \frac{\pi}{6})$在区间$[0,a]$上的值域为$[-2,\sqrt{3}]$，则$a$的取值范围为　　　　　　　　(　　　)
A. $[\frac{5\pi}{12},\frac{5\pi}{6}]$　　　　　　
B. $[\frac{5\pi}{12},\frac{11\pi}{12}]$
C. $[\frac{2\pi}{5},\frac{5\pi}{12}]$　　　　
D. $[\frac{5\pi}{12},\pi]$

答案： 跟踪演练4 A