《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例1　(2024·柳州模拟)已知M是一个动点，$MM_{1}$与直线$y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$垂直，垂足$M_{1}$位于第一象限，$MM_{2}$与直线$y=-\frac{\sqrt{5}}{2}x$垂直，垂足$M_{2}$位于第四象限，且$\overrightarrow{MM_{1}}\cdot\overrightarrow{MM_{2}}=\frac{20}{81}$。
(1)求动点M的轨迹方程E；
(2)设$A_{1}(-2,0)$，$A_{2}(2,0)$，过点(3,0)的直线l与曲线E交于A，B两点(点A在x轴上方)，P为直线$A_{1}A$，$A_{2}B$的交点，当点P的纵坐标为$\frac{5\sqrt{10}}{6}$时，求直线l的方程。

答案：
解 （1）设$M(x,y)$，
直线$y = \frac{\sqrt{5}}{2}x$的倾斜角为$\theta$，
则$\tan\theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$，
$\tan\angle M_1OM_2 = \tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$
$= - 4\sqrt{5} ＜ 0$，
$\angle M_1OM_2$为钝角，
所以$\cos\angle M_1OM_2 = - \frac{1}{9}$，
$\cos\angle M_1MM_2 = \cos(\pi - \angle M_1OM_2)$
$= - \cos\angle M_1OM_2 = \frac{1}{9}$，
$|\overrightarrow{MM_1}| = \frac{|\frac{\sqrt{5}}{2}x - y|}{\sqrt{1 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2}}$
$= \frac{|\sqrt{5}x - 2y|}{3}$，
$|\overrightarrow{MM_2}| = \frac{|\frac{\sqrt{5}}{2}x + y|}{\sqrt{1 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2}}$
$= \frac{|\sqrt{5}x + 2y|}{3}$，
所以$\overrightarrow{MM_1} \cdot \overrightarrow{MM_2}$
$= \frac{|\sqrt{5}x - 2y|}{3} \cdot \frac{|\sqrt{5}x + 2y|}{3} \times \frac{1}{9}$
$= \frac{20}{81}$。
由于$M_1$位于第一象限，$M_2$位于第四象限，所以$M$的轨迹方程$E$：$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1(x \geq 2)$。

（2）设$l:x = my + 3$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，
联立$\begin{cases}x = my + 3\\\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1\end{cases}$，
化简得$(5m^2 - 4)y^2 + 30my + 25 = 0$，
$5m^2 - 4 \neq 0$，
则$\Delta = 900m^2 - 100(5m^2 - 4) ＞ 0$，
$y_1 + y_2 = \frac{-30m}{5m^2 - 4}$，$y_1y_2 = \frac{25}{5m^2 - 4}$，
直线$AA_1:y = \frac{y_1}{x_1 + 2}(x + 2)$，
直线$BA_2:y = \frac{y_2}{x_2 - 2}(x - 2)$，
联立直线$AA_1$与直线$BA_2$的方程可得
$\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{y_2(x_1 + 2)}{y_1(x_2 - 2)}$
$= \frac{y_2(my_1 + 5)}{y_1(my_2 + 1)} = \frac{my_1y_2 + 5y_2}{my_1y_2 + y_1}$。
方法一 （和积转化）
因为$my_1y_2 = - \frac{5}{6}(y_1 + y_2)$，
所以$\frac{my_1y_2 + 5y_2}{my_1y_2 + y_1}$
$= \frac{- \frac{5}{6}(y_1 + y_2) + 5y_2}{- \frac{5}{6}(y_1 + y_2) + y_1} = - 5$。
方法二 （配凑）
因为$my_1y_2 = - \frac{5}{6}(y_1 + y_2)$，

所以$\frac{my_1y_2 + 5y_2}{my_1y_2 + y_1}$
$= \frac{my_1y_2 + 5y_1 + 5y_2 - 5y_1}{my_1y_2 + y_1}$
$= \frac{my_1y_2 + 5(y_1 + y_2) - 5y_1}{my_1y_2 + y_1}$
$= \frac{my_1y_2 - 6my_1y_2 - 5y_1}{my_1y_2 + y_1} = - 5$。
由$\frac{x + 2}{x - 2} = - 5$，可得$x = \frac{4}{3}$，
故点$P(\frac{4}{3},\frac{5\sqrt{10}}{6})$，
直线$AA_1$的斜率为$\frac{\frac{5\sqrt{10}}{6}}{\frac{4}{3} + 2} = \frac{\sqrt{10}}{4}$，
联立$\begin{cases}y = \frac{\sqrt{10}}{4}(x + 2)\\\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1\end{cases}$，
消去$x$化简得$y^2 - 2\sqrt{10}y = 0$，
解得$y_1 = 2\sqrt{10}$，$x_1 = 6$，
故$A(6,2\sqrt{10})$，
则$m = \frac{6 - 3}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{20}$，
故直线$l$的方程为$x = \frac{3\sqrt{10}}{20}y + 3$，
即$2\sqrt{10}x - 3y - 6\sqrt{10} = 0$。

跟踪演练1　(2024·湛江模拟)双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$上一点$D(6,\sqrt{3})$到左、右焦点的距离之差为6。
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知$A(-3,0)$，$B(3,0)$，过点(5,0)的直线l与C交于M，N(异于A，B)两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线$x=-2$的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

答案：
解 （1）依题意可得$\begin{cases}2a = 6\\\frac{6^2}{a^2} - \frac{(\sqrt{3})^2}{b^2} = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = 1\end{cases}$，
故双曲线$C$的方程为$\frac{x^2}{9} - y^2 = 1$。
（2）由题意可得直线$l$的斜率不为$0$，
设直线$l$的方程为$x = my + 5$，

联立$\begin{cases}x = my + 5\\\frac{x^2}{9} - y^2 = 1\end{cases}$，
消去$x$，
得$(m^2 - 9)y^2 + 10my + 16 = 0$，
则$m^2 - 9 \neq 0$，$\Delta = (10m)^2 - 4 \times 16(m^2 - 9) = 36(m^2 + 16) ＞ 0$，
设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，
则$y_1 + y_2 = \frac{-10m}{m^2 - 9}$，$y_1y_2 = \frac{16}{m^2 - 9}$，
又$A(-3,0)$，$B(3,0)$，
直线$AM:y = \frac{y_1}{x_1 + 3}(x + 3)$，
直线$BN:y = \frac{y_2}{x_2 - 3}(x - 3)$，
联立$\begin{cases}y = \frac{y_1}{x_1 + 3}(x + 3)\\y = \frac{y_2}{x_2 - 3}(x - 3)\end{cases}$，
两式相除，得$\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{y_2(x_1 + 3)}{y_1(x_2 - 3)}$
$= \frac{y_2(my_1 + 8)}{y_1(my_2 + 2)}$
$= \frac{my_1y_2 + 8y_2}{my_1y_2 + 2y_1}$
$= \frac{my_1y_2 + 8(y_1 + y_2) - 8y_1}{my_1y_2 + 2y_1}$
$= \frac{\frac{16m}{m^2 - 9} - \frac{80m}{m^2 - 9} - 8y_1}{\frac{16m}{m^2 - 9} + 2y_1}$
$= \frac{- \frac{64m}{m^2 - 9} - 8y_1}{\frac{16m}{m^2 - 9} + 2y_1} = - 4$，
即$\frac{x + 3}{x - 3} = - 4$，解得$x = \frac{9}{5}$，
所以点$P$在定直线$x = \frac{9}{5}$上，
因为直线$x = \frac{9}{5}$与直线$x = - 2$之间的距离为$\frac{9}{5} + 2 = \frac{19}{5}$，
所以点$P$到直线$x = - 2$的距离为定值，且定值为$\frac{19}{5}$。