《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例2　(2024·宝鸡模拟)已知函数$f(x)=a^{x}+x^{2}-x\ln a - b(a,b\in\mathbf{R},a ＞ 1)$，e是自然对数的底数.
(1)当$a = e,b = 4$时，求整数k的值，使得函数$f(x)$在区间$(k,k + 1)$上存在零点；
(2)若$x\in[-1,1]$，且$b = 0$，求$f(x)$的最小值和最大值.

答案： 例2 解
(1)当$a = e$，$b = 4$时，
$f(x)=e^{x}+x^{2}-x - 4$，
$\therefore f'(x)=e^{x}+2x - 1$，$\therefore f'(0)=0$，
当$x＞0$时，$e^{x}＞1$，
$\therefore f'(x)＞0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，
同理$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减。
$f(-2)=e^{-2}+2＞0$，
$f(-1)=e^{-1}-2＜0$，
$f(0)=-3＜0$，$f(1)=e - 4＜0$，
$f(2)=e^{2}-2＞0$，
故当$x＞2$时，$f(x)＞0$，当$x＜-2$时，$f(x)＞0$，
故当$x＞0$时，函数$f(x)$的零点在$(1,2)$内，$\therefore k = 1$满足条件。
同理，当$x＜0$时，函数$f(x)$的零点在$(-2,-1)$内，$\therefore k=-2$满足条件，
综上，$k = 1$，$-2$。
(2)由已知$f(x)=a^{x}+x^{2}-x\ln a$
$f'(x)=a^{x}\ln a + 2x-\ln a$
$=2x+(a^{x}-1)\ln a$，
①当$x＞0$时，由$a＞1$，
可知$a^{x}-1＞0$，$\ln a＞0$，
$\therefore f'(x)＞0$；
②当$x＜0$时，由$a＞1$，
可知$a^{x}-1＜0$，$\ln a＞0$，
$\therefore f'(x)＜0$；
③当$x = 0$时，$f'(x)=0$，
$\therefore f(x)$在$[-1,0]$上单调递减，在$(0,1]$上单调递增，
$\therefore$当$x\in[-1,1]$时，$f(x)_{\min}=f(0)=1$，$f(x)_{\max}=\max\{f(-1),f(1)\}$。
因为$f(1)=a + 1-\ln a$，
$f(-1)=\frac{1}{a}+1+\ln a$，
则$f(1)-f(-1)=a-\frac{1}{a}-2\ln a$，
设$g(t)=t-\frac{1}{t}-2\ln t(t＞0)$，
$\because g'(t)=1+\frac{1}{t^{2}}-\frac{2}{t}=(\frac{1}{t}-1)^{2}\geqslant0$（当且仅当$t = 1$时取等号），
$\therefore g(t)$在$(0,+\infty)$上单调递增，而$g(1)=0$，
$\therefore$当$t＞1$时，$g(t)＞0$，即$a＞1$时，$a-\frac{1}{a}-2\ln a＞0$，$\therefore f(1)＞f(-1)$，
即$f(x)_{\max}=f(1)=a + 1-\ln a$。
综上，$f(x)$的最小值为$1$，最大值为$a + 1-\ln a$。

跟踪演练2　(1)(2024·安徽省皖江名校联盟模拟)已知函数$f(x)=(x - 1)\sin x+(x + 1)\cdot\cos x$，当$x\in[0,\pi]$时，$f(x)$的最大值与最小值的和为__________.

答案： 跟踪演练2
(1)$(\frac{\sqrt{2}}{4}-1)\pi - 1$

(2)(2024·浙江省金丽衢十二校联考)已知函数$f(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x},x ＜ 0,\\e^{x}-2,x\geq0,\end{cases}$若$x_{1} ＜ x_{2}$，且$f(x_{1}) = f(x_{2})$，则$x_{2}-x_{1}$的最小值为__________.

答案： 跟踪演练2
(2)$2\ln 2+\frac{1}{2}$

例3　(1)(2024·南充模拟)已知函数$f(x)=xe^{x + m}-\frac{1}{2}x^{2}-mx$在区间$[-1 - m,1 - m]$上有且仅有两个极值点，则实数m的取值范围为 （ ）
A.$(1,2-\frac{1}{e})$
B.$(1,e)$
C.$(1,2-\frac{1}{e}]$
D.$(1,e]$

答案：
例3
(1)A $[f'(x)=e^{x + m}(1 + x)-m$，
因为$f(x)$在区间$[-1 - m,1 - m]$上有且仅有两个极值点，
所以$f'(x)$在区间$(-1 - m,1 - m)$上有两个变号零点，即$e^{x + m}(1 + x)=x + m$在区间$(-1 - m,1 - m)$上有两个不等实数根。
令$t=x + m$，则$x=t - m$，上式可化为$m=t + 1-\frac{t}{e^{t}}$，其中$t\in(-1,1)$。
令$g(t)=t + 1-\frac{t}{e^{t}}$，$t\in(-1,1)$，
则$g'(t)=1-\frac{1 - t}{e^{t}}=\frac{e^{t}-1 + t}{e^{t}}$。
令$h(t)=e^{t}-1 + t$，
则$h'(t)=e^{t}+1＞0$，
即$h(t)$为增函数，
又$h(0)=0$，所以当$t\in(-1,0)$时，
$g'(t)＜0$，$g(t)$单调递减；
当$t\in(0,1)$时，$g'(t)＞0$，$g(t)$单调递增，所以当$t = 0$时，$g(t)$取得最小值，
因为$g(0)=1$，$g(-1)=e$，
$g(1)=2-\frac{1}{e}$，
所以$m$的取值范围为$(1,2-\frac{1}{e})$。]

(2)若函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-2$在区间$(a - 4,a)$上存在最小值，则a的取值范围是________.

答案： 例3
(2)$[1,4)$

跟踪演练3　(1)(2024·赤峰模拟)已知函数$f(x)=x\ln x - ax$有极值 - e，则a等于( )
A.1
B.2
C.e
D.3

答案： 跟踪演练3
(1)B

(2)(2024·石嘴山模拟)已知函数$f(x)=ax^{2}-2x+\ln x$有两个不同的极值点$x_{1},x_{2}$，若不等式$f(x_{1})+f(x_{2})\leq t$恒成立，则实数t的最小值为__________.

答案： 跟踪演练3
(2)$-3$