《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

跟踪演练2 （多选）（2024·通化模拟）奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为$S_{A}$，$S_{B}$，$S_{C}$，则$S_{A}\cdot\overrightarrow{MA}+S_{B}\cdot\overrightarrow{MB}+S_{C}\cdot\overrightarrow{MC}=\boldsymbol{0}$.以下命题正确的有 （ ）

A.若$S_{A}:S_{B}:S_{C}=1:1:1$，则M为△ABC的重心
B.若M为△ABC的内心，则$BC\cdot\overrightarrow{MA}+AC\cdot\overrightarrow{MB}+AB\cdot\overrightarrow{MC}=\boldsymbol{0}$
C.若∠BAC = 45°，∠ABC = 60°，M为△ABC的外心，则$S_{A}:S_{B}:S_{C}=2:\sqrt{3}:1$
D.若M为△ABC的垂心，$3\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+5\overrightarrow{MC}=\boldsymbol{0}$，则$\cos\angle AMB=\frac{\sqrt{6}}{6}$

答案： 跟踪演练2　ABC

1.（2024·安庆模拟）设O点在△ABC内部，且有$3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为 （ ）
A.2 B.$\sqrt{3}$ C.$\sqrt{2}$ D.3

答案： 思维提升　拓展练习
1. A

2.设I为△ABC的内心，且$2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+\sqrt{7}\overrightarrow{IC}=\boldsymbol{0}$，则角C为 （ ）
A.$\frac{\pi}{6}$ B.$\frac{\pi}{3}$ C.$\frac{2\pi}{3}$ D.$\frac{3\pi}{4}$

答案： 2. B

3.已知△ABC的重心为G，AB = 6，AC = 8，BC = $2\sqrt{13}$，则△BGC的面积为 （ ）
A.$12\sqrt{3}$ B.$8\sqrt{3}$ C.$4\sqrt{3}$ D.4

答案： 3. C

4.在△ABC中，AB = 2，AC = 3，BC = 4，O为△ABC的内心，若$\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{BC}$，则3λ + 6μ的值为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.7

答案： 4. C

5.已知点A，B，C，P在同一平面内，$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{QR}=\frac{1}{3}\overrightarrow{QB}$，$\overrightarrow{RP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{RC}$，则$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle PBC}$等于 （ ）
A.$\frac{19}{6}$ B.$\frac{3}{2}$ C.$\frac{5}{3}$ D.$\frac{19}{4}$

答案： 5. D

6.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，则$S_{1}\cdot\overrightarrow{OA}+S_{2}\cdot\overrightarrow{OB}+S_{3}\cdot\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，则cos C = （ ）

A.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$ B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$ C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案：
6. B [延长$CO$交$AB$于点$P$，
$\because O$是$\triangle ABC$的垂心，$\therefore OP\perp AB$。
$\therefore S_{1}:S_{2} = (\frac{1}{2}\cdot OC\cdot BP):(\frac{1}{2}\cdot OC\cdot AP)$
$= BP:AP = (OP\tan\angle POB):(OP\tan\angle POA)$
$= \tan\angle COB:\tan\angle COA$
$= \tan(\pi - A):\tan(\pi - B)$
$= \tan A:\tan B$。
同理可得$S_{2}:S_{3} = \tan B:\tan C$，
$\therefore S_{1}:S_{2}:S_{3} = \tan A:\tan B:\tan C$。
又$S_{1}\cdot\overrightarrow{OA} + S_{2}\cdot\overrightarrow{OB} + S_{3}\cdot\overrightarrow{OC} = 0$，
$\therefore \tan A\cdot\overrightarrow{OA} + \tan B\cdot\overrightarrow{OB} + \tan C\cdot\overrightarrow{OC} = 0$。
又$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} = 0$，
$\therefore \tan A:\tan B:\tan C = 1:2:3$。
不妨设$\tan A = k$，$\tan B = 2k$，$\tan C = 3k$，其中$k \neq 0$。
$\because \tan A = -\tan(B + C) = -\frac{\tan B + \tan C}{1 - \tan B\tan C}$，
$\therefore k = -\frac{2k + 3k}{1 - 2k\cdot 3k}$，解得$k = \pm 1$。
当$k = -1$时，
此时$\tan A ＜ 0$，$\tan B ＜ 0$，$\tan C ＜ 0$，
则$A$，$B$，$C$都是钝角，不符合题意，舍去。
故$k = 1$，则$\tan C = 3 ＞ 0$，
故$C$为锐角，
$\therefore \begin{cases} \frac{\sin C}{\cos C} = 3, \\ \sin^{2}C + \cos^{2}C = 1, \end{cases}$
解得$\cos C = \frac{\sqrt{10}}{10}$。

]

7.（多选）（2024·保定模拟）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为$S_{A}$，$S_{B}$，$S_{C}$，则$S_{A}\cdot\overrightarrow{OA}+S_{B}\cdot\overrightarrow{OB}+S_{C}\cdot\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$.设O是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为A，B，C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为$S_{A}$，$S_{B}$，$S_{C}$，若$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，则以下命题正确的有 （ ）

A.$S_{A}:S_{B}:S_{C}=3:4:5$
B.O有可能是△ABC的重心
C.若O为△ABC的外心，则$\sin A:\sin B:\sin C=3:4:5$
D.若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形

答案： 7. AD [对于A，由奔驰定理可得，
$3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC} = S_{A}\cdot\overrightarrow{OA} + S_{B}\cdot\overrightarrow{OB} + S_{C}\cdot\overrightarrow{OC} = 0$，
因为$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不共线，
所以$S_{A}:S_{B}:S_{C} = 3:4:5$，
故A正确；
对于B，若$O$是$\triangle ABC$的重心，
则$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 0$，
因为$3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC} = 0$，所以$\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{CO}$，即$O$，$B$，$C$三点共线，故B错误；
对于C，当$O$为$\triangle ABC$的外心时，
$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$，
所以$S_{A}:S_{B}:S_{C} = \sin\angle BOC:\sin\angle AOC:\sin\angle AOB = 3:4:5$，
即$\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C = 3:4:5$，
故C错误；
对于D，当$O$为$\triangle ABC$的内心时，
$S_{A}:S_{B}:S_{C} = \frac{1}{2}ar:\frac{1}{2}br:\frac{1}{2}cr$
$= a:b:c = 3:4:5$（$r$为内切圆半径，$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$的对边），
所以$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以$C = \frac{\pi}{2}$，故D正确。]

8.（多选）（2024·重庆模拟）已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有 （ ）
A.若$|\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{AC}|\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，则点O是△ABC的重心
B.若$\overrightarrow{OA}\cdot(\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}-\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|})=\overrightarrow{OB}\cdot(\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}-\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|})=0$，则点O是△ABC的内心
C.若$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot\overrightarrow{BC}=0$，则点O是△ABC的外心
D.若O为△ABC的外心，且$2\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，则B为△ABC的垂心

答案：
8. BCD [对于A，设
$a$，$b$，$c$分别为角
$A$，$B$，$C$的对边，在
$AB$，$AC$上分别取
点$D$，$E$，使得$\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB}}{c}$，$\overrightarrow{AE} = \frac{\overrightarrow{AC}}{b}$，
则$|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AE}| = 1$，以$AD$，$AE$为邻边作平行四边形$ADFE$，如图所示，
则四边形$ADFE$是菱形，
且$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \frac{\overrightarrow{AB}}{c} + \frac{\overrightarrow{AC}}{b}$，
所以$AF$平分$\angle BAC$，
因为$|\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{OA} + |\overrightarrow{AC}|\overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{OC} = 0$，
即$a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB} + c\overrightarrow{OC} = 0$，
所以$a\cdot\overrightarrow{OA} + b\cdot(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}) + c(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}) = 0$，
即$(a + b + c)\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC} = 0$，
所以$\overrightarrow{AO} = \frac{b}{a + b + c}\overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c}\overrightarrow{AC}$
$= \frac{bc}{a + b + c}(\frac{\overrightarrow{AB}}{c} + \frac{\overrightarrow{AC}}{b})$
$= \frac{bc}{a + b + c}\overrightarrow{AF}$，
所以$A$，$O$，$F$三点共线，即$O$在$\angle BAC$的平分线上，
同理可得$O$在其他两角的平分线上，
所以$O$为$\triangle ABC$的内心，故A错误；
对于B，在$AB$，$AC$
上分别取点$D$，$E$，
使得$\overrightarrow{AE} = \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
$\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，
如图，
则$|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AE}| = 1$，
且$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} - \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \overrightarrow{DE}$，
因为$\overrightarrow{OA}\cdot(\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} - \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}) = 0$，
即$\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{DE}$，又$|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AE}| = 1$知，
$AO$平分$\angle BAC$，
同理，可得$BO$平分$\angle ABC$，故$O$为$\triangle ABC$的内心，故B正确；
对于C，取$AB$，$BC$的中点分别为$M$，$N$，如图，
因为$(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\cdot\overrightarrow{BC} = 0$，
所以$2\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{BC} = 0$，
即$OM\perp AB$，$ON\perp BC$，所以$O$是$\triangle ABC$的外心，故C正确；
对于D，因为$2\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$，
所以$\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$，即$O$为$AC$的中点，又$O$为$\triangle ABC$的外心，
所以$\angle B = 90^{\circ}$，则$B$为$\triangle ABC$的垂心，故D正确。



]

9.已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$56a\overrightarrow{GA}+40b\overrightarrow{GB}+35c\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}$，则B = ________.

答案： 9. $\frac{\pi}{3}$

10.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC = $\frac{\pi}{6}$，如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为$\frac{1}{2}$，x，y，则x + y的最大值是_______.

答案： 10. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析　方法一　据奔驰定理得，
$\frac{1}{2}\overrightarrow{PA} + x\overrightarrow{PB} + y\overrightarrow{PC} = 0$，
即$\overrightarrow{AP} = 2x\overrightarrow{PB} + 2y\overrightarrow{PC}$，$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，
平方得$\overrightarrow{AP}^{2} = 4x^{2}\overrightarrow{PB}^{2} + 4y^{2}\overrightarrow{PC}^{2} + 8xy|\overrightarrow{PB}|\cdot|\overrightarrow{PC}|\cdot\cos\angle BPC$，
又因为点$P$是$\triangle ABC$的外心，
$\angle BAC = \frac{\pi}{6}$，
所以$|\overrightarrow{PA}| = |\overrightarrow{PB}| = |\overrightarrow{PC}|$，
且$\angle BPC = 2\angle BAC = \frac{\pi}{3}$，
所以$x^{2} + y^{2} + xy = \frac{1}{4}$，
$(x + y)^{2} = \frac{1}{4} + xy\leqslant\frac{1}{4} + (\frac{x + y}{2})^{2}$，
解得$x + y\leqslant\frac{\sqrt{3}}{3}$，当且仅当$x = y = \frac{\sqrt{3}}{6}$时取等号，所以$(x + y)_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
方法二　因为点$P$是$\triangle ABC$的外心，
所以$S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB} = \sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$
$= \frac{1}{2}:x:y$，$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，
又$\angle BAC = \frac{\pi}{6}$，$\therefore \sin 2A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore x = \frac{\sqrt{3}}{3}\sin 2B$，$y = \frac{\sqrt{3}}{3}\sin 2C$，
$\therefore x + y = \frac{\sqrt{3}}{3}(\sin 2B + \sin 2C)$
$= \frac{\sqrt{3}}{3}[\sin 2B + \sin(\frac{5\pi}{3} - 2B)]$
$= \frac{\sqrt{3}}{3}\sin(2B - \frac{\pi}{3})$，
又$\because B\in(0,\frac{5\pi}{6})$，
$\therefore 2B - \frac{\pi}{3}\in(-\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3})$，
$\therefore \sin(2B - \frac{\pi}{3})\in(-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，
$\therefore x + y\in(0,\frac{\sqrt{3}}{3}]$，
$\therefore (x + y)_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。