《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例2　(2024·北京丰台模拟)已知函数$f(x)=a^{2}x + 2a\sqrt{x}-2\ln x(a\neq0)$.
　(1)当a = 1时，求曲线y = f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;
　(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.

答案： 解 （1）当$a = 1$时，
$f(x)=x + 2\sqrt{x}-2\ln x,x＞0$，
则$f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x}$，
所以$f'(1)=0$，$f(1)=3$，
故曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y = 3$.
（2）$f'(x)=a^{2}+\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x}$
$=\frac{a^{2}x + a\sqrt{x}-2}{x}$
$=\frac{(a\sqrt{x}+2)(a\sqrt{x}-1)}{x}(a\neq0,x＞0)$，
当$a＞0$时，则$a\sqrt{x}+2＞0$，
令$f'(x)＞0$，则$x＞\frac{1}{a^{2}}$，
令$f'(x)＜0$，则$0 ＜ x ＜ \frac{1}{a^{2}}$，
故$f(x)$在$(\frac{1}{a^{2}},+\infty)$上单调递增，在$(0,\frac{1}{a^{2}})$上单调递减，故当$x=\frac{1}{a^{2}}$时，
$f(x)$取极值也是最小值，
则$f(x)_{\min}=f(\frac{1}{a^{2}})=a^{2}\cdot\frac{1}{a^{2}}+2a\sqrt{\frac{1}{a^{2}}}-2\ln\frac{1}{a^{2}}=3 + 4\ln a$，
又当$x\rightarrow+\infty$时，$f(x)\rightarrow+\infty$，
且当$x\rightarrow0$时，$f(x)\rightarrow+\infty$，
故要使函数$f(x)$有两个零点，只需要$f(x)_{\min}=3 + 4\ln a＜0$，
解得$0 ＜ a ＜ e^{-\frac{3}{4}}$；
当$a＜0$时，则$a\sqrt{x}-1＜0$，
令$f'(x)＞0$，则$x＞\frac{4}{a^{2}}$，
令$f'(x)＜0$，则$0 ＜ x ＜ \frac{4}{a^{2}}$，
故$f(x)$在$(\frac{4}{a^{2}},+\infty)$上单调递增，在$(0,\frac{4}{a^{2}})$上单调递减，故当$x=\frac{4}{a^{2}}$时，
$f(x)$取极值也是最小值，
则$f(x)_{\min}=f(\frac{4}{a^{2}})=a^{2}\cdot\frac{4}{a^{2}}+2a\sqrt{\frac{4}{a^{2}}}-2\ln\frac{4}{a^{2}}=-2\ln\frac{4}{a^{2}}$
$=-4\ln2 + 2\ln a^{2}$，
又当$x\rightarrow+\infty$时，$f(x)\rightarrow+\infty$，
且当$x\rightarrow0$时，$f(x)\rightarrow+\infty$，
故要使函数$f(x)$有两个零点，只需要$f(x)_{\min}=-4\ln2 + 2\ln a^{2}＜0$，
解得$-2 ＜ a ＜ 0$；
综上，$0 ＜ a ＜ e^{-\frac{3}{4}}$或$-2 ＜ a ＜ 0$，故$a$的取值范围是$(-2,0)\cup(0,e^{-\frac{3}{4}})$.

跟踪演练2　已知函数$f(x)=e^{x - 1}+e^{-x + 1}$，$g(x)=a(x^{2}-2x)(a＜0)$.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数$h(x)=f(x)-g(x)$有两个零点，求a的取值范围.

答案： 解 （1）由$f(x)=e^{x - 1}+e^{-x + 1}$，
可得$f'(x)=e^{x - 1}-e^{-x + 1}=\frac{e^{2(x - 1)}-1}{e^{x - 1}}$，
令$f'(x)=0$，解得$x = 1$.
当$x＜1$时，$f'(x)＜0$，
$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减；
当$x＞1$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，
故函数$f(x)$的单调递减区间是$(-\infty,1)$，单调递增区间是$(1,+\infty)$.
（2）由$h(x)=0$，得$f(x)=g(x)$，
因此函数$h(x)$的零点个数等价于函数$f(x)$与$g(x)$的图象的交点个数，
因为$g(x)=a(x^{2}-2x)(a＜0)$，所以$g(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，
且单调递增区间是$(-\infty,1)$，单调递减区间是$(1,+\infty)$，所以当$x = 1$时，$g(x)$取最大值$g(1)=-a$，
由（1）可知，函数$f(x)$的单调递减区间是$(-\infty,1)$，单调递增区间是$(1,+\infty)$.
当$x = 1$时，$f(x)$取最小值$f(1)=2$，
又$f(1 - x)=f(1 + x)$，所以$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，故当$-a＞2$，即$a＜-2$时，函数$h(x)$有两个零点，故$a$的取值范围是$(-\infty,-2)$.

例1　(2024·扬州模拟)若直线l既是曲线$y = \ln x$的切线，也是曲线$y = e^{x - 2}$的切线，则直线l的方程为________________.

答案： $y = x - 1$ 或 $y = \frac{1}{e}x$