《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

（2）（2024·全国甲卷）已知$a ＞ 1，且\frac{1}{\log_{6}a}-\frac{1}{\log_{4}a}=-\frac{5}{2}$，则$a =$______。

答案：
(2)64

例2 （2023·全国甲卷）函数$y = f(x)$的图象由函数$y = \cos(2x + \frac{\pi}{6})$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到，则$y = f(x)$的图象与直线$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$的交点个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 例2　C

例3 （2024·榆林模拟）已知函数$f(x) = (x^{2}-4x + m)(4^{\frac{x}{2}}-m - 1)$恰有3个零点，则$m$的取值范围是______________。

答案：
例3　(-1,0)∪(0,3)∪(3,4)
解析　令$f(x)=(x^{2}-4x+m)\cdot(4^{\frac{x}{3}}-m - 1)=0$，
得$m=-x^{2}+4x$
或$m = 4^{\frac{x}{3}}-1$。
令$g(x)=-x^{2}+4x$，$h(x)=4^{\frac{x}{3}}-1$，作出两函数的大致图象，如图所示，这两个函数图象的交点为(0,0)，(3,3)，因为$g(x)_{max}=4$，$h(x)＞-1$，所以由图可知$m$的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4)。

跟踪演练2
（1）（2024·新课标全国Ⅱ）设函数$f(x) = a(x + 1)^{2}-1，g(x) = \cos x + 2ax$。当$x \in (-1，1)$时，曲线$y = f(x)$和$y = g(x)$恰有一个交点，则$a$等于（ ）
A. -1
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

答案： 跟踪演练2　
(1)D　[方法一
令$f(x)=g(x)$，
即$ax^{2}+a - 1=\cos x+2ax$，
可得$ax^{2}+a - 1=\cos x$，
令$F(x)=ax^{2}+a - 1$，$G(x)=\cos x$，原题意等价于当$x\in(-1,1)$时，
曲线$y = F(x)$与$y = G(x)$恰有一个交点，
注意到$F(x)$，$G(x)$均为偶函数，
可知该交点只能在$y$轴上，
可得$F(0)=G(0)$，
即$a - 1=1$，解得$a = 2$，
若$a = 2$，令$F(x)=G(x)$，
可得$2x^{2}+1-\cos x=0$，
因为$x\in(-1,1)$，
则$2x^{2}\geqslant0$，$1-\cos x\geqslant0$，
当且仅当$x = 0$时，等号成立，
可得$2x^{2}+1-\cos x\geqslant0$，
当且仅当$x = 0$时，等号成立，
则方程$2x^{2}+1-\cos x=0$有且仅有一个实根0，
即曲线$y = F(x)$与$y = G(x)$恰有一个交点，所以$a = 2$符合题意。
方法二　令$h(x)=f(x)-g(x)=ax^{2}+a - 1-\cos x$，$x\in(-1,1)$，原题意等价于$h(x)$有且仅有一个零点，因为$h(-x)=a(-x)^{2}+a - 1-\cos(-x)=ax^{2}+a - 1-\cos x=h(x)$，
则$h(x)$为偶函数，
根据偶函数的对称性可知$h(x)$的零点只能为0，
即$h(0)=a - 2=0$，解得$a = 2$，
若$a = 2$，则$h(x)=2x^{2}+1-\cos x$，$x\in(-1,1)$，
又因为$2x^{2}\geqslant0$，$1-\cos x\geqslant0$，
当且仅当$x = 0$时，等号成立，
可得$h(x)\geqslant0$，当且仅当$x = 0$时，等号成立，
即$h(x)$有且仅有一个零点0，
所以$a = 2$符合题意。]

（2）（2024·茂名模拟）若$f(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，且$f(x) = f(4 - x)$，当$x \in [0，2]$时，$f(x) = 2^{x}-1$，则函数$g(x) = 3|\sin \pi x|-f(x)$在区间$[-1，5]$内的所有零点的和是（ ）
A. 20
B. 18
C. 16
D. 14

答案： 跟踪演练2　
(2)A

例4
（1）（2024·重庆模拟）物理学家本·福斯特提出的定律：在$b$进制的大量随机数据中，以$n$开头的数出现的概率为$P_{b}(n) = \log_{b}\frac{n + 1}{n}$，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误。根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的__________倍（参考数据：$\lg 2 \approx 0.301，\lg 3 \approx 0.477$）（ ）
A. 5.5
B. 6
C. 6.5
D. 7

答案： 例4　
(1)C

（2）（2024·德阳模拟）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合。已知某类果蔬的保鲜时间$y$（单位：小时）与储藏温度$x$（单位：$^{\circ}C$）满足函数关系：$y = e^{ax + b}(a，b$为常数），若该果蔬在$7^{\circ}C$的保鲜时间为288小时，在$21^{\circ}C$的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（ ）
A. $14^{\circ}C$
B. $15^{\circ}C$
C. $13^{\circ}C$
D. $16^{\circ}C$

答案： 例4　
(2)A

跟踪演练3 在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”。用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为$W_{0}$，则经过$t$秒后这段声音的声强变为$W(t) = W_{0}e^{-\frac{t}{\tau}}$，其中$\tau$是一个常数。把混响时间$T_{R}$定义为声音的声强衰减到原来的$10^{-6}$所需的时间，则$T_{R}$约为（参考数据：$\ln 2 \approx 0.7，\ln 5 \approx 1.6$）（ ）
A. $6.7\tau$
B. $8.3\tau$
C. $13.8\tau$
D. $14.8\tau$

答案： 跟踪演练3　C