《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

跟踪演练3 (1)已知对任意平面向量$\overrightarrow{AB}=(x，$y)，把$\overrightarrow{AB}$绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量$\overrightarrow{AP}=(xcosθ - ysinθ，$xsinθ + ycosθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1，2)，点$B(1 + \sqrt{3}，$4)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转$\frac{π}{3}$后得到点P，则点P的坐标为 （ ）
$A. (\frac{3\sqrt{3}}{2}+1，$$\frac{3}{2}) B. ( - \frac{3\sqrt{3}}{2}+1，$$\frac{3}{2})$
$C. (\frac{5}{2}，$$\frac{3\sqrt{3}}{2}) D. (\frac{5}{2}，$$\frac{1}{2})$

答案：
(1)A

(2)对于非零向量α，β，定义一种运算：$α°β=\frac{α·β}{β·β}，$已知非零向量a，b的夹角$θ∈(\frac{π}{4}，$$\frac{π}{2})，$且a°b，b°a都在集合${\frac{n}{2}|n∈N}$中，则a°b等于 （ ）
$A. \frac{5}{2}$或$\frac{3}{2} B. \frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$
$C. 1 D. \frac{1}{2}$

答案：
(2)D

1. 对于非零向量a，b，定义a⊕b = a·b·tan〈a，b〉.若$a⊕b = |a + b|=\sqrt{3}|a - b|=\sqrt{3}，$则tan〈a，b〉等于 （ ）
$A. \frac{2\sqrt{3}}{3} B. \sqrt{2} C. 2\sqrt{3} D. 3\sqrt{2}$

答案： C

2. 若向量a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)，则a，b构成的平行四边形的面积S可以用a，b的外积a×b表示出来，即S = |a×b| = |x₁y₂ - x₂y₁|.已知在平面直角坐标系Oxy中，点A(cosα，$\sqrt{3})，$B(sin2α，2cosα)，α∈[0，$\frac{π}{2}]，$则△OAB面积的最大值为 （ ）
$A. 1 B. \sqrt{2} C. 2 D. 3$

答案： A

3. (多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成$θ(θ≠\frac{π}{2})$角的两条数轴， e₁，e₂分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系Oxy为θ反射坐标系，若$\overrightarrow{OM}=xe₁ + ye₂，$则把有序数对(x，y)叫做向量$\overrightarrow{OM}$的反射坐标，记为$\overrightarrow{OM}=(x，$y)，在$θ=\frac{2π}{3}$的反射坐标系中，a=(1，2)，b=(2， - 1)，则下列结论中，正确的是 （ ）

A. a - b=( - 1，3)
$B. |a|=\sqrt{5}$
C. a⊥b
D. a在b上的投影向量的长度为$ - \frac{3\sqrt{7}}{14}$

答案： AD

4. (多选)现在给出一个向量的新运算a×b，叫作向量a与b的外积，它是一个满足如下两个条件的向量：
①a·(a×b)=0，b·(a×b)=0，且{a，b，a×b}构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图1所示)；②向量a×b的模|a×b| = |a||b|sin〈a，b〉.如图2，在棱长为2的正四面体ABCD中，下列说法正确的是 （ ）
　　　
$A. \overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}×\overrightarrow{AB}$
$B. 4|\overrightarrow{BC}×\overrightarrow{AC}|$与正四面体的表面积相等
$C. (\overrightarrow{AC}×\overrightarrow{AB})·\overrightarrow{AD}=4\sqrt{2}$
$D. |(\overrightarrow{AC}×\overrightarrow{AB})×\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AC}×(\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AD})|$

答案：
CD [对于A，易得$\vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\vert =\vert \overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}\vert$，根据右手系的基的定义，拇指指向$\overrightarrow{AB}$的方向，食指指向$\overrightarrow{AC}$的方向，则中指指向$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$的方向，其垂直于平面$ABC$，方向向下，同理得$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}$垂直于平面$ABC$，方向向上，所以$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}$两向量大小相同，方向相反，A错误；
对于B，$4\vert \overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{AC}\vert =4\vert \overrightarrow{BC}\vert \vert \overrightarrow{AC}\vert \sin \frac{\pi}{3}=4\times 2\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$，正四面体的表面积为$4\times \frac{1}{2}\times \vert \overrightarrow{BC}\vert \vert \overrightarrow{AC}\vert \times \sin \frac{\pi}{3}=4\sqrt{3}$，B错误；
对于C，设$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}$，由A选项知$\overrightarrow{AM}$垂直于平面$ABC$，方向向上，$\vert \overrightarrow{AM}\vert =\vert \overrightarrow{AB}\vert \vert \overrightarrow{AC}\vert \sin \frac{\pi}{3}=2\sqrt{3}$，
所以$(\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AD}=\vert \overrightarrow{AM}\vert \vert \overrightarrow{AD}\vert \cos \langle \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AD}\rangle =4\sqrt{3}\cos \langle \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AD}\rangle$。
如图，过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$，过点$D$作$DF\perp AE$于点$F$，

则$FD$是正四面体$ABCD$的高，$\overrightarrow{AM}$与$\overrightarrow{FD}$共线，$\langle \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AD}\rangle =\angle ADF$。
由$\frac{1}{3}\times FD\times \frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}\times {2}^{3}$，得$FD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以$\cos \langle \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AD}\rangle =\frac{FD}{AD}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以$(\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AD}=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{2}$，C正确；
对于D，$\vert (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB})\times \overrightarrow{AD}\vert =\vert \overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}\vert \vert \overrightarrow{AD}\vert \sin \langle (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}),\overrightarrow{AD}\rangle$，
$\vert \overrightarrow{AC}\times (\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\vert =\vert \overrightarrow{AC}\vert \vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}\vert \sin \langle \overrightarrow{AC},(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\rangle$，
易知$\vert \overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}\vert =\vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}\vert$，$\vert \overrightarrow{AD}\vert =\vert \overrightarrow{AC}\vert$，
$\sin \langle (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}),\overrightarrow{AD}\rangle =\sin \langle \overrightarrow{AC},(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\rangle$，
所以$\vert (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB})\times \overrightarrow{AD}\vert =\vert \overrightarrow{AC}\times (\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\vert$，D正确。]

5. 给出定义：对于向量b=(sinx，cosx)，若函数f(x)=a·b，则称向量a为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量a的伴随函数.
已知A( - 1，$\frac{3}{2})，$B(1，3)，函数h(x)的伴随向量为n=(0，1)，点P为函数h(x)的图象上一点，满足$|\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}| = |\overrightarrow{AB}|，$则点P的坐标为________.

答案： (0,1)

6. (2024·邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和b，定义：$a⊕b=\frac{a·b}{|a|² + |b|²}，$$a⊙b=\frac{a·b}{|b|²}.$若平面向量a，b满足|a| ＞ |b| ＞ 0，且a⊕b和a⊙b都在集合${\frac{n}{4}|n∈Z，0 ＜ n≤4}$中，则a⊕b + a⊙b = __________.

答案： 1或$\frac{5}{4}$
解析　因为$\{\frac{n}{4}\vert n\in Z,0\lt n\leqslant 4\}=\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1\}$，设向量$a$和$b$的夹角为$\theta$，
因为$\vert a\vert ＞ \vert b\vert ＞ 0$，所以$\vert a{\vert }^{2}+\vert b{\vert }^{2}＞ 2\vert a\vert \vert b\vert$，
得到$a\oplus b=\frac{a\cdot b}{\vert a{\vert }^{2}+\vert b{\vert }^{2}}=\frac{\vert a\vert \vert b\vert \cos \theta }{\vert a{\vert }^{2}+\vert b{\vert }^{2}}＜\frac{\vert a\vert \vert b\vert \cos \theta }{2\vert a\vert \vert b\vert }=\frac{\cos \theta }{2}$，
又$\theta \in [0,\pi ]$，所以$\frac{\cos \theta }{2}\leqslant \frac{1}{2}$，
所以$a\oplus b＜\frac{1}{2}$，又$a\oplus b$在集合$\{\frac{n}{4}\vert n\in Z,0\lt n\leqslant 4\}$中，所以$a\oplus b=\frac{1}{4}$，
所以$\frac{\cos \theta }{2}＞ \frac{1}{4}$，即$\cos \theta ＞ \frac{1}{2}$；
又因为$a\odot b=\frac{a\cdot b}{\vert b{\vert }^{2}}=\frac{\vert a\vert \vert b\vert \cos \theta }{\vert b{\vert }^{2}}=\frac{\vert a\vert }{\vert b\vert }\cos \theta ＞ \cos \theta ＞ \frac{1}{2}$，
所以$a\odot b=\frac{3}{4}$或1，
所以$a\oplus b + a\odot b = 1$或$\frac{5}{4}$。