《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

跟踪演练3 (2024·常德模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE = 2CD. 动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，$\overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AE}$，则$\lambda + \mu$的取值范围为____________.

答案： $[0,4]$

例1 (1)(2024·咸阳模拟)已知在边长为1的菱形$ABCD$中，若点$E$为线段$CD$的中点，则$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EB}$等于（ ）
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ B.$\frac{3}{4}$ C.$-\frac{3}{4}$ D.$-\frac{3}{2}$

答案：
(1)C

(2)(2024·泰安模拟)在同一平面内，$M$，$N$是两个定点，$P$是动点，若$\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{NP}=4$，则点$P$的轨迹为（ ）
A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆

答案：
(2)D

(3)如图，正方形$ABCD$的边长为2，$P$为正方形$ABCD$内一点(包含边界)，且$PA \perp PB$，则$\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PD}$的取值范围是________.

答案：

(3)[0,4]
解析　如图,
∵PA⊥PB,
∴点P在以AB为直径的半圆上,取CD的中点O,连接PO,

由向量极化恒等式知
$ \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PD} = |\overrightarrow{PO}|^2 - 1 $
当点P在A(或B)处时,
$ |\overrightarrow{PO}|_{\max} = \sqrt{5} $
当点P在$\overset{\frown}{AB}$的中点时，$ |\overrightarrow{PO}|_{\min} = 1 $
∴$ |\overrightarrow{PO}| \in [1,\sqrt{5}] $
∴$ \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PD} $的取值范围是[0,4]。

跟踪演练1 (1)如图，在四边形$ABCD$中，$|\overrightarrow{AC}| = 4$，$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}=12$，$E$为$AC$的中点.$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{ED}$，则$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD}$的值为（ ）

A.0 B.12 C.2 D.6

答案：
(1)A

(2)(2024·贵州省名校协作体联考)已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，点$M$在直线$l:x + y - 4 = 0$上运动，则$\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{MF_2}$的最小值为（ ）
A.7 B.9 C.13 D.15

答案：
(2)A

(3)已知正方形$ABCD$的边长为4，点$E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，如果对于常数$\lambda$，在正方形$ABCD$的四条边上，有且只有8个不同的点$P$，使得$\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF}=\lambda$成立，那么$\lambda$的取值范围是（ ）
A.(0,2] B.(0,2) C.(0,4] D.(0,4)

答案：

(3)D　[如图所示,设EF的中点为O,
则根据极化恒等式可得
$ \overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF} = |\overrightarrow{PO}|^2 - 4 = \lambda $
即$ |\overrightarrow{PO}|^2 = \lambda + 4 $，所以
$ |\overrightarrow{PO}| = \sqrt{\lambda + 4} $
由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故$ 2 ＜ \sqrt{\lambda + 4} ＜ 2\sqrt{2} $，
解得0＜λ＜4。]