《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

(2)(2024·河南TOP20名校联考)如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上、下底的面积分别为$4\ cm^{2}$和$9\ cm^{2}$，高为$3\ cm$.现在收集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为__________$mm$.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积)
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 跟踪演练1　
(2)$\frac{455}{16}$

例2 (1)(2024·石家庄质检)设$\alpha$，$\beta$，$\gamma$是三个不同的平面，$m$，$l$是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是 （ ）
A.若$\alpha\perp\beta$，$m\subset\alpha$，$l\perp\beta$，则$m// l$
B.若$m\subset\alpha$，$l\subset\beta$，$\alpha//\beta$，则$m// l$
C.若$\alpha\perp\beta$，$\alpha\cap\beta = m$，$l\perp m$，则$l\perp\beta$
D.若$\alpha\cap\beta = l$，$m// l$，$m\perp\gamma$，则$\alpha\perp\gamma$

答案： 例2　
(1)D

(2)(多选)(2024·聊城模拟)已知四棱锥$P - ABCD$的底面$ABCD$是正方形，则下列关系能同时成立的是 （ ）
A.“$AB = PB$”与“$PB = BD$”
B.“$PA\perp PC$”与“$PB\perp PD$”
C.“$PB\perp CD$”与“$PC\perp AB$”
D.“平面$PAB\perp$平面$PBD$”与“平面$PCD\perp$平面$PBD$”

答案：
例2　
(2)BC　[对于A，若AB=PB，而底面ABCD是正方形，AB≠BD，所以PB=BD不成立，故A错误；
对于B，设底面正方形中心为O，当P在以O为球心，OA为半径的球面上时可符合题意，故B正确；
对于C，当平面PBC⊥底面ABCD时，由面面垂直的性质可知AB⊥平面PBC，DC⊥平面PBC，显然符合题意，故C正确；
对于D，先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，如图，有
$\begin{cases}\alpha\cap\beta = l,\alpha\cap\gamma = a,\beta\cap\gamma = b,\\\alpha\perp\gamma,\\\beta\perp\gamma,\end{cases}$
取A∈γ，作AB⊥a，AC⊥b，垂足分别为B，C，由面面垂直的性质可知AB⊥α，AC⊥β，
由线面垂直的性质及l⊂α，l⊂β可知，AC⊥l，AB⊥l，
又AB∩AC = A，AB，AC⊂γ，由线面垂直的判定可知l⊥γ，
若“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”同时成立，
易知P∈平面PAB∩平面PCD，
可设平面PAB∩平面PCD = l，则P∈l，
则l⊥平面PBD，
易知AB//CD，AB⊄平面PCD，所以AB//平面PCD，则l//AB，则有AB⊥平面PBD，显然AB⊥BD不成立，故D错误。]

跟踪演练2 (1)(2024·金华模拟)已知$m$，$n$为异面直线，$m\perp$平面$\alpha$，$n\perp$平面$\beta$，直线$l$满足$l\perp m$，$l\perp n$，$l\not\subset\alpha$，$l\not\subset\beta$，则 （ ）
A.$\alpha//\beta$且$l//\alpha$
B.$\alpha\perp\beta$且$l\perp\beta$
C.$\alpha$与$\beta$相交，且交线垂直于$l$
D.$\alpha$与$\beta$相交，且交线平行于$l$

答案： 跟踪演练2　
(1)D

(2)(多选)(2024·秦皇岛模拟)如图，在圆柱$O_{1}O$中，轴截面$ABCD$为正方形，点$F$是$\overset{\frown}{AB}$上一点，$M$为$BD$与轴$O_{1}O$的交点.$E$为$MB$的中点，$N$为$A$在$DF$上的射影，且$EF//$平面$AMN$，则下列选项正确的有 （ ）
　　　　　　　　　　　　
A.$CF//$平面$AMN$
B.$AN\perp$平面$DBF$
C.$DB\perp$平面$AMN$
D.$F$是$\overset{\frown}{AB}$的中点

答案： 跟踪演练2　
(2)BCD

例3 (1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是 （ ）
　　　　　　　　　　　　
A.$C\in GH$
B.$CD$与$EF$是共面直线
C.$AB// EF$
D.$GH$与$EF$是异面直线

答案： 例3　
(1)ABD

(2)(多选)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点$S$滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则 （ ）
　　　　　　　　　　　　　　
A.圆锥的母线长为3
B.圆锥的表面积为$36\pi$
C.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为$60^{\circ}$
D.若一只蚂蚁从点$A$出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点$A$，则爬行的最短距离为$9\sqrt{3}$

答案：
例3　
(2)BD　[设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为$\pi l^{2}$，圆锥的侧面积为$\pi rl = 3\pi l$，
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为$(\frac{360}{3})^{\circ}=120^{\circ}$，故C错误；
$\pi l^{2}=3\times3\pi l$，解得l = 9，所以圆锥的母线长为9，故A错误；
圆锥的表面积为$3\times\pi\times9+\pi\times3^{2}=36\pi$，故B正确；
如图为圆锥沿SA展开的侧面展开图，连接AA'，则△ASA'为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为AA' =$2\times9\times\sin60^{\circ}=9\sqrt{3}$，故D正确。]