《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例 3 (2024·温州模拟)某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关. 若从该班级中随机抽取 1 名学生，设$A =$“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，$B =$“抽取的学生建立了个性化错题本”，且$P(A|\overline{B}) = \frac{2}{3},P(B|\overline{A}) = \frac{5}{6},P(B) = \frac{2}{3}$.
(1)求$P(A)$和$P(A|B)$；
(2)若该班级共有 36 名学生，请完成列联表，并依据小概率值$\alpha = 0.005$的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关?
　
(3)为进一步验证(2)中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为$36k$的样本(假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为(2)中列联表中数据的$k$倍，且新列联表中的数据都为整数). 若要使得依据$\alpha = 0.001$的独立性检验可以肯定(2)中的判断，试确定$k$的最小值.
参考公式及数据：
$\chi^{2} = \frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$，$n = a + b + c + d$.

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答案： 解　
(1)因为 $ P(A|\overline{B}) = \frac{2}{3} $，
$ P(B|\overline{A}) = \frac{5}{6} $，$ P(B) = \frac{2}{3} $，
所以 $ P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 - P(A|\overline{B}) = \frac{1}{3} $，
$ P(\overline{B}|\overline{A}) = 1 - P(B|\overline{A}) = \frac{1}{6} $，
$ P(\overline{B}) = \frac{1}{3} $，
由于 $ P(\overline{A}|\overline{B})\cdot P(\overline{B}) = P(\overline{B}|\overline{A})\cdot P(\overline{A}) $，
解得 $ P(\overline{A}) = \frac{2}{3} $，所以 $ P(A) = \frac{1}{3} $。
$ P(A) = P(B)\cdot P(A|B) + P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B}) $，
解得 $ P(A|B) = \frac{1}{6} $。
(2)
| | 期末统考中的数学成绩 | | 合计 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 个性化错题本 | 及格 | 不及格 | |
| 建立 | 20 | 4 | 24 |
| 未建立 | 4 | 8 | 12 |
| 合计 | 24 | 12 | 36 |
零假设为 $ H_{0} $：期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关。
根据列联表中的数据，经计算得到
$ \chi^{2} = \frac{36\times(20\times8 - 4\times4)^{2}}{24\times12\times12\times24} = 9 ＞ 7.879 = x_{0.005} $。
根据小概率值 $ \alpha = 0.005 $ 的独立性检验，我们推断 $ H_{0} $ 不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关。
(3)$ \chi'^{2} = \frac{k(a + b + c + d)(ka\cdot kd - kb\cdot kc)^{2}}{k(a + b)\cdot k(c + d)\cdot k(a + c)\cdot k(b + d)} = \frac{k(a + b + c + d)(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} = 9k \geq 10.828 $，
解得 $ k \geq \frac{10.828}{9} $。
要使新列联表中的数据都为整数，则需 $ 4k \in Z $。
又因为 $ 4k \geq \frac{10.828\times4}{9} \approx 4.8 $，所以 $ 4k $ 的最小值为5，故 $ k $ 的最小值是 $ \frac{5}{4} $。