《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例2　（2024·菏泽统考）若函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，满足$f(0)=2$，$\forall x\in\mathbf{R}$，都有$f(x)+f'(x)＞1$，则关于$x$的不等式$f(x)＞e^{-x}+1$的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\{x|x＞1\}$
B. $\{x|x＞e\}$
C. $\{x|x＜0\}$
D. $\{x|x＞0\}$

答案： 例2 D [因为$f(x)+f'(x)＞1$，所以$f(x)+f'(x)-1＞0$，所以构造函数$F(x)=e^{x}f(x)-e^{x}$，则$F'(x)=e^{x}f(x)+e^{x}f'(x)-e^{x}=e^{x}[f(x)+f'(x)-1]＞0$，所以$F(x)$在$R$上单调递增，因为$f(0)=2$，所以$F(0)=1$，所以不等式$f(x)＞e^{-x}+1\Leftrightarrow e^{x}f(x)-e^{x}＞1\Leftrightarrow F(x)＞F(0)$，因为$F(x)$在$R$上单调递增，所以$x＞0$，所以不等式的解集为$\{x|x＞0\}$。]

跟踪演练2　已知定义在$\mathbf{R}$上的连续可导函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$满足$f(x)＜f'(x)$恒成立，且当$x＞0$时，$f(x)＞0$，则下列式子不一定成立的是　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $f(8)＞2f(4)$
B. $f(4)＞2f(2)$
C. $f(2)＞2f(1)$
D. $f(1)＞2f\left(\frac{1}{2}\right)$

答案： 跟踪演练2 D

例3　（2024·杭州模拟）已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x)\sin x + f'(x)\cos x＞0$，则　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $f\left(\frac{\pi}{3}\right)＜\sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{6}\right)$
B. $f\left(\frac{\pi}{6}\right)＜\sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{3}\right)$
C. $f\left(\frac{\pi}{3}\right)＞\sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{6}\right)$
D. $f\left(\frac{\pi}{6}\right)＞\sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{3}\right)$

答案： 例3 B [令$F(x)=\frac{f(x)}{\cos x}$，$x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$，故$F'(x)=\frac{f'(x)\cos x + f(x)\sin x}{\cos^{2}x}＞0$恒成立，故$F(x)=\frac{f(x)}{\cos x}$在$(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$，$k\in Z$上单调递增，故$F(\frac{\pi}{6})＜F(\frac{\pi}{3})$，即$\frac{f(\frac{\pi}{6})}{\cos\frac{\pi}{6}}＜\frac{f(\frac{\pi}{3})}{\cos\frac{\pi}{3}}\Rightarrow\frac{f(\frac{\pi}{6})}{\frac{\sqrt{3}}{2}}＜\frac{f(\frac{\pi}{3})}{\frac{1}{2}}\Rightarrow f(\frac{\pi}{6})＜\sqrt{3}f(\frac{\pi}{3})$。]

跟踪演练3　（2024·齐齐哈尔模拟）已知函数$f(x)$的定义域为$(0,\pi)$，其导函数是$f'(x)$.若对任意的$x\in(0,\pi)$，有$f'(x)\sin x - f(x)\cos x＜0$，则关于$x$的不等式$f(x)＞2f\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin x$的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\left(0,\frac{\pi}{3}\right)$
B. $\left(0,\frac{\pi}{6}\right)$
C. $\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)$
D. $\left(\frac{\pi}{6},\pi\right)$

答案： 跟踪演练3 B

例4　(1)（2024·昆明模拟）设$a=\frac{1}{6}$，$b=\frac{\ln 5}{10}$，$c=\frac{\ln 6}{12}$，则　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $c＜b＜a$
B. $c＜a＜b$
C. $b＜c＜a$
D. $b＜a＜c$

答案： 例4
(1)A

(2)（2024·遵义模拟）设$a = \tan 0.01$，$b = \ln 1.01$，$c=\frac{1}{101}$，则下列关系正确的是　(　　　)
A. $a＜b＜c$
B. $b＜a＜c$
C. $a＜c＜b$
D. $c＜b＜a$

答案：
(2)D [$b = \ln1.01=\ln(1 + 0.01)$，$c=\frac{1}{101}=\frac{0.01}{100 + 1}=\frac{0.01}{1+0.01}$，令$f(x)=\ln(1 + x)-\frac{x}{1 + x}$，$x\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f'(x)=\frac{1}{1 + x}-\frac{1}{(1 + x)^{2}}=\frac{x}{(1 + x)^{2}}＞0$，所以函数$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递增，所以$f(0.01)＞f(0)=0$，即$\ln(1 + 0.01)＞\frac{0.01}{1 + 0.01}$，所以$b＞c$；令$g(x)=\ln(1 + x)-x,x\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$g'(x)=\frac{1}{1 + x}-1=-\frac{x}{1 + x}＜0$，所以$g(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减，所以$g(0.01)＜g(0)=0$，即$\ln(1 + 0.01)＜0.01$，令$h(x)=x-\tan x,x\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$h'(x)=1-\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=-\tan^{2}x＜0$，所以函数$h(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减，所以$h(0.01)＜h(0)=0$，即$0.01＜\tan0.01$，所以$\ln(1 + 0.01)＜\tan0.01$，即$b＜a$，综上所述，$c＜b＜a$。]

跟踪演练4　(1)（2024·德阳模拟）已知$a = 4\ln 3^{e}$，$b = 3\pi$，$c = 4\ln \pi^{3}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $c＜b＜a$
B. $b＜c＜a$
C. $b＜a＜c$
D. $a＜b＜c$

答案： 跟踪演练4
(1)B

(2)（2024·石家庄模拟）已知$a$，$b$，$c\in(1,+\infty)$，$\frac{8}{a}=\frac{\ln a}{\ln 10}$，$\frac{7}{b}=\frac{\ln b}{\ln 11}$，$\frac{6}{c}=\frac{\ln c}{\ln 12}$，则下列大小关系正确的是　　　　　　　　　(　　　)
A. $c＞b＞a$
B. $a＞b＞c$
C. $b＞c＞a$
D. $c＞a＞b$

答案：
(2)B