《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例1 (1)(多选)(2024·安庆模拟)下列说法正确的是 ( )
A. 直线$x\sin\alpha + y + 2 = 0$的倾斜角$\theta$的取值范围是$[0,\frac{\pi}{4}]\cup[\frac{3\pi}{4},\pi)$
B. “$a = -1$”是“直线$a^2x - y + 1 = 0$与直线$x - ay - 2 = 0$互相垂直”的充要条件
C. 过点$P(1,2)$且在$x$轴、$y$轴截距相等的直线方程为$x + y - 3 = 0$
D. 经过平面内任意相异两点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$的直线都可以用方程$(x_2 - x_1)(y - y_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1)$表示

答案：
(1)AD

(2)已知$y = (x - a)^2 + (x\ln x - a + 3)^2(a\in\mathbf{R})$，则$y$的最小值为_______.

答案：
(2)2
解析 设点$P(x,x\ln x)$是函数$f(x)=x\ln x$图象上的点，点$Q(a,a - 3)$是直线$l:y = x - 3$上的点，
则$|PQ|=\sqrt{(x - a)^2+(x\ln x - a + 3)^2}$，
所以$|PQ|^2=(x - a)^2+(x\ln x - a + 3)^2$，
因为$f'(x)=\ln x + 1$，设曲线$y = f(x)$在点$M(x_0,y_0)$处的切线$l_1$与直线$l$平行，则$f'(x_0)=\ln x_0 + 1 = 1$，解得$x_0 = 1$，则点$M(1,0)$，
所以$|PQ|$的最小值为点$M(1,0)$到直线$l$的距离$d=\frac{|1 - 0 - 3|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
所以$y=(x - a)^2+(x\ln x - a + 3)^2$的最小值为2.

跟踪演练1 (1)(多选)已知直线$l:\sqrt{3}x - y + 1 = 0$，下列四个说法中正确的是 ( )
A. 直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{6}$
B. 若直线$m:x - \sqrt{3}y + 1 = 0$，则$l\perp m$
C. 点$(\sqrt{3},0)$到直线$l$的距离为2
D. 过点$(2\sqrt{3},2)$，并且与直线$l$平行的直线方程为$\sqrt{3}x - y - 4 = 0$

答案：
(1)CD

(2)(2024·遂宁模拟)若点$A(a,a)$，$B(b,e^b)(a,b\in\mathbf{R})$，则$A$，$B$两点间距离$|AB|$的最小值为_________.

答案：
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$