《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例1 已知三棱柱ABC - A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上. 若该棱柱的体积为$\sqrt{3}$，AB = 2，AC = 1，∠BAC = 60°，则该外接球的表面积等于 （ ）
A. 8π
B. 9π
C. 10π
D. 11π

答案： 例1 A

例2 已知四棱锥P - ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，若PD = a，则该四棱锥外接球的表面积为 （ ）
A. $\pi a^{2}$
B. $\frac{7}{3}\pi a^{2}$
C. $\frac{7}{4}\pi a^{2}$
D. $5\pi a^{2}$

答案： 例2 B

例3 （2024·秦皇岛模拟）已知正三棱台ABC - A₁B₁C₁的所有顶点都在表面积为65π的球O的球面上，且AB = 2A₁B₁ = 4$\sqrt{3}$，则正三棱台ABC - A₁B₁C₁的体积为________________.

答案：
例3 $21\sqrt{3}$或$28\sqrt{3}$
解析 设点$O_1$，$O_2$分别是$\triangle A_1B_1C_1$，$\triangle ABC$的外接圆的圆心，球$O$的半径为$R$，则$4\pi R^{2}=65\pi$，解得$R = \frac{\sqrt{65}}{2}$，且$O_1$，$O_2$，$O$三点共线，正三棱台$ABC - A_1B_1C_1$的高为$O_1O_2$。在等边$\triangle ABC$中，$AB = 4\sqrt{3}$，由正弦定理可得$2AO_2=\frac{AB}{\sin60^{\circ}}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，得$AO_2 = 4$。在等边$\triangle A_1B_1C_1$中，$A_1B_1 = 2\sqrt{3}$，由正弦定理可得$2A_1O_1=\frac{A_1B_1}{\sin60^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，得$A_1O_1 = 2$。在$Rt\triangle OO_1A_1$中，$OO_1^{2}+A_1O_1^{2}=R^{2}$，即$OO_1^{2}+4=\frac{65}{4}$，得$OO_1=\frac{7}{2}$。在$Rt\triangle OO_2A$中，$OO_2^{2}+AO_2^{2}=R^{2}$，即$OO_2^{2}+16=\frac{65}{4}$，得$OO_2=\frac{1}{2}$。
如果三棱台的上下底面在球心$O$的同侧，如图1所示，则正三棱台的高为$O_1O_2=OO_1 - OO_2=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}=3$，此时正三棱台$ABC - A_1B_1C_1$的体积$V_1=\frac{1}{3}\times[\frac{\sqrt{3}}{4}\times(2\sqrt{3})^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\times(4\sqrt{3})^{2}+\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}\times(2\sqrt{3})^{2}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times(4\sqrt{3})^{2}}]\times3=21\sqrt{3}$。
如果三棱台的上下底面在球心$O$的两侧，如图2所示，则正三棱台的高为$O_1O_2=OO_1 + OO_2=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=4$，此时正三棱台$ABC - A_1B_1C_1$的体积$V_2=\frac{1}{3}\times[\frac{\sqrt{3}}{4}\times(2\sqrt{3})^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\times(4\sqrt{3})^{2}+\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}\times(2\sqrt{3})^{2}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times(4\sqrt{3})^{2}}]\times4=28\sqrt{3}$。
综上，正三棱台$ABC - A_1B_1C_1$的体积为$21\sqrt{3}$或$28\sqrt{3}$。

例4 在四棱锥P - ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA = 4，PC与平面ABCD所成角的大小为$\theta$，且$\tan\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则四棱锥P - ABCD外接球的表面积为 （ ）
A. 26π
B. 28π
C. 34π
D. 14π

答案：
例4 C [如图，因为$PA\perp$平面$ABCD$，四边形$ABCD$为正方形，所以可将四棱锥$P - ABCD$补成长方体$PEFG - ABCD$，则四棱锥$P - ABCD$的外接球也是长方体$PEFG - ABCD$的外接球。由$PA\perp$平面$ABCD$，所以$\angle PCA$就是$PC$与平面$ABCD$所成的角$\theta$，则$\tan\theta=\frac{PA}{AC}=\frac{4}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以$AC = 3\sqrt{2}$。设四棱锥$P - ABCD$的外接球的半径为$R$，因为长方体$PEFG - ABCD$的对角线$PC$的长即为其外接球的直径，所以$PC = 2R=\sqrt{AC^{2}+PA^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+4^{2}}=\sqrt{34}$，所以$R=\frac{\sqrt{34}}{2}$，所以四棱锥$P - ABCD$外接球的表面积为$4\pi R^{2}=34\pi$。]

(1)(2024·凉山模拟)已知在三棱锥P - ABC中，PA = $\sqrt{3}$，PB = PC = 2，底面ABC是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）
A. 3π
B. $\frac{13\pi}{3}$
C. 4π
D. 6π

答案： 跟踪演练1
(1)B

(2)(2024·白山模拟)已知四面体ABCD中，∠BAC = ∠DAC = ∠DAB = 90°，AB = AD = 2AC = 4，点E在线段AB上，过点A作AF⊥DE，垂足为F，则当△CDF的面积最大时，四面体ACDE外接球的表面积与四面体ABCD外接球的表面积之比为 （ ）
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{37}{45}$
D. $\frac{13}{15}$

答案： 跟踪演练1
(2)C

例5 (1)(2024·南通、扬州、泰州七市调研)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3$\sqrt{5}$，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为 （ ）
A. 12π
B. 27π
C. $\frac{64\pi}{9}$
D. $\frac{64\pi}{3}$

答案： 例5
(1)D

(2)(多选)(2024·来宾模拟)下列物体中，能够被整体放入棱长为2的正四面体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(参考数据：$\sqrt{6}\approx2.449$，$\sqrt{3}\approx1.732$) （ ）
A. 底面直径为1，高为$\sqrt{3}$的圆锥
B. 底面边长为1，高为0.8的正三棱柱
C. 直径为0.8的球体
D. 底面直径为0.5，高为0.9的圆柱体

答案：
例5
(2)BCD [对于正四面体$ABCD$，作$AO\perp$平面$BCD$，交平面$BCD$于点$O$，连接$OD$，且$O$为正三角形$BCD$的中心。又棱长为$2$，则正三角形$BCD$的内切圆半径$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$，正四面体的高$AO=\sqrt{AD^{2}-OD^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx1.633$。设正四面体内切球半径为$t$，则$V = 4\times\frac{1}{3}\times S_{\triangle BCD}\cdot t=\frac{1}{3}\times S_{\triangle BCD}\times AO$，则$t=\frac{\sqrt{6}}{6}\approx0.408$。
对于A，圆锥的高$\sqrt{3}＞\frac{2\sqrt{6}}{3}$，所以不符合题意，故A错误；
对于B，底面边长为$1$，高为$0.8$的正三棱柱，如图所示，当$MO = 0.8$时，设$\triangle EFG$内切圆的半径为$r'$，则$\frac{r'}{r}=\frac{AM}{AO}\approx\frac{1.633 - 0.8}{1.633}\approx0.51$，则$r'\approx0.51\times\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.294$，而边长为$1$时的正三角形内切圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.289＜0.294$，故满足题意，故B正确；
对于C，直径为$0.8$的球体，其半径为$0.4＜0.408$，故满足题意，故C正确；
对于D，如图，当$MO = 0.9$时，设$\triangle EFG$内切圆的半径为$r_1$，则$\frac{r_1}{r}=\frac{AM}{AO}\approx\frac{1.633 - 0.9}{1.633}\approx0.449$，则$r_1\approx0.449\times\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.259＞0.25$，故满足题意，则D正确。]