《2024年补充习题江苏九年级数学上册苏科版》

1. 求下列方程两根的和与两根的积：
(1)$x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2)$3x^2 - \sqrt{2}x - 1 = 0$；
(3)$2x^2 = -3x$；
(4)$4x^2 = 3$。

答案： 解:
(1) ${x}_{1}$+ ${x}_{2}$=- $\frac{b}{a}$=4
${x}_{1}$× ${x}_{2}$= $\frac{c}{a}$=1
解:
(2) ${x}_{1}$+ ${x}_{2}$=- $\frac{b}{a}$= $\frac{\sqrt{2}}{3}$
${x}_{1}$× ${x}_{2}$= $\frac{c}{a}$= $-\frac{1}{3}$
解:
(3) ${x}_{1}$+ ${x}_{2}$=- $\frac{b}{a}$= $-\frac{3}{2}$
${x}_{1}$× ${x}_{2}$= $\frac{c}{a}$=0
解:
(4) ${x}_{1}$+ ${x}_{2}$=- $\frac{b}{a}$=0
${x}_{1}$× ${x}_{2}$= $\frac{c}{a}$= $-\frac{3}{4}$

2. 已知$x^2 + kx - 2 = 0$的一个根是-2,求方程的另一个根和k的值.

答案： 解:设另一个根是m
两根之积-2m=-2,
所以m= 1
两根之和-2+1=-k
所以k=1
综上所述,方程的另一根是1 , k的值是1

3. 已知$2 - \sqrt{3}是方程x^2 - 4x + c = 0$的一个根,求方程的另一个根和c的值.

答案： 解:设方程的另一个根为t
所以 $t+2-\sqrt{3}=4，(2-\sqrt{3})t= c$
所以 $t =2+\sqrt{3}$
所以 $c=(2-\sqrt{3})(2 +\sqrt{3})= 1$
所以方程的另一个根为 $2+\sqrt{3}$,c的值为1

4. 设$x_1$、$x_2是方程2x^2 - 5x + 2 = 0$的两个根,利用一元二次方程的根与系数的关系,求下列各式的值：
(1)$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$；
(2)$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$.

答案： 解:
(1)由题意可得 ${x}_{1}$+ ${x}_{2}$=- $\frac{b}{a}$= $\frac{5}{2}$
${x}_{1}$× ${x}_{2}$= $\frac{c}{a}$=1
原式= ${x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1$
        =1+ $\frac{5}{2}$+1
        = $\frac{9}{2}$
(2)原式= $\frac{{x}_{1}²+{x}_{2}²}{{x}_{1}{x}_{2}}$
            = $\frac{({x}_{1}+{x}_{2})²-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
           = $\frac{25}{4}$-2
           = $\frac{17}{4}$