《2024年补充习题江苏九年级数学上册苏科版》

18. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$AB= 5$,$AC= 3$,分别以$AC$、$BC$、$AB$为直径作半圆. 求图中阴影部分的面积.

答案：
解:设以BC为直径的半圆的面积为 ${S}_{1}$ ,
以AC为直径的半圆的面积为 ${S}_{2}$,
以AB为直径的半圆的面积为 ${S}_{3}$,
因为AB=5 , AC=3
所以在Rt△ABC中,
BC= $\sqrt{AB²-AC²}$=4
所以 $S阴影=S1+S2+ SRt△ABC-S3$
                    = $\frac{1}{8}π×(AC²+BC²-AB²)$+ $\frac{1}{2}$AC×BC
                    = $\frac{1}{2}$×3×4
                     =6

19. 如图①,$AB是\odot O$的直径,$AC是\odot O$的弦,直线$EF与\odot O相切于点C$,$AD\perp EF$,垂足为$D$.
(1)$\angle DAC与\angle BAC$相等吗? 为什么?
(2)将直线$EF$向上平移,交$\odot O于点G$、$C$(如图②),如果题中的其他条件不变,此时哪个角与$\angle DAC$相等? 为什么?

答案：
解：连接OC

∵直线EF与圆相切于点C
∴OC⊥EF
∵AD⊥EF
∴OC//AD
∴∠OCA=∠CAD
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∴∠BAC=∠CAD
解：
(2)与∠DAC相等的角为∠BAG，理由如下：
连接BG

∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形
∴∠ABG+∠ACG=180°
∵点D、C、G均在直线EF上
∴∠ACD+∠ACG=180°
∴∠ABG=∠ACD
∵AB是⊙O的直径
∴∠AGB=90°
∴∠ABG+∠BAG=90°
∵AD⊥EF
∴∠ACD+∠DAC=90°
∵∠ABG=∠ACD
∴∠BAG=∠DAC