《2024年补充习题江苏九年级数学上册苏科版》

17. 如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,切点为D,CE平分∠ACD,交AD于点E. 求∠DEC的度数.

答案： 解:连接OD.
因为CD是圆O的切线
所以CD⊥OD
所以∠DOC+∠DCO=90°.
因为CE平分∠ACD .
所以∠DEC =∠A+ $\frac{1}{2}$∠DCO.
因为∠A= $\frac{1}{2}$∠DOC
所以∠DEC= $\frac{1}{2}$∠DOC+ $\frac{1}{2}$∠DCO= $\frac{1}{2}$×(∠DOC+∠DCO) = 45°

18. 如图,在△ABC中,∠ABC= 90°,∠C= 30°,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E.
(1)判断BE与△DCE的外接圆的位置关系,并说明理由；
(2)若BE= $\sqrt{3}$,BD= 1,求△DCE的外接圆的直径.

答案：
解：
(1)BE与△DCE的外接圆相切，理由如下：
取CD的中点O，连接OE

∵DE是线段AC的垂直平分线
∴点E为AC的中点
∵∠ABC=90°
∴BE=AE=EC
∴∠EBO=∠C
∵∠C=30°
∴∠EOD=2∠C=60°
∵OE=OD
∴△OED是等边三角形
∴∠EOB=60°
∴∠EBO+∠EOB=90°
∴∠BEO=90°
∴BE与⊙O相切
$解：(2)由(1)可知，∠BEO=90°$
$设△DCE的外接圆的半径为r$
$∴在Rt△BEO中， OE^2+BE^2=OB^2$
$∴ r^2+(\sqrt3)^2=(r+1)^2$
$∴r=1$
$∴△DCE的外接圆的直径为2$