《2025年优化探究同步导学案高中物理选择性必修第一册人教版》

[例2] (1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时,用摆长$ l $和周期$ T $计算重力加速度的公式是$ g = $$\frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$。若已知摆球直径为$ 2.00\ cm $,让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点,摆线竖直下垂,如图甲所示,则单摆摆长是0.8750$ m $。若测定了$ 40 $次全振动的时间为$ 75.2\ s $,计算可得单摆周期是1.88$ s $。

(2)为了提高测量精度,需要多次改变$ l $的值,并测得相应的$ T $值。现将测得的六组数据标示在以$ l $为横坐标,以$ T^{2} $为纵坐标的坐标系上(如图乙所示),即图中用“$ · $”表示的点。

①单摆做简谐运动应满足的条件是摆线偏离平衡位置的夹角小于$5^{\circ}$。
②根据图中给出的数据点作出$ T^{2} $和$ l $的关系图线,根据图线可求出$ g = $9.9$ m/s^2 $(结果保留两位有效数字)。

答案：
[答案]
(1)$\frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$ 0.8750 1.88
(2)①摆线偏离平衡位置的夹角小于$5^{\circ}$ ②图见解析 9.9
[解析]
(1)由$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$可知$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$。由题图甲可知，摆长$l =(88.50 - 1.00)cm = 87.50\ cm = 0.8750\ m$，单摆周期$T = \frac{t}{40} = 1.88\ s$。
(2)①单摆做简谐运动应满足的条件是摆线偏离平衡位置的夹角小于$5^{\circ}$。
②$T^{2}$和$l$的关系图线如图所示，直线斜率$k = \frac{\Delta T^{2}}{\Delta l} \approx 4.0\ s^{2}/m$，由$g = \frac{4\pi^{2}\Delta l}{\Delta T^{2}} = \frac{4\pi^{2}}{k}$可得$g \approx 9.9\ m/s^{2}$。

[例3] 某智能手机中有一款软件,其中的“磁传感器”功能实时记录手机附近磁场的变化,磁极越靠近手机,“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用手机、磁化的小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置,来测量重力加速度,实验步骤如下:
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方,接着往侧边拉开小球,并用夹子夹住。
②打开夹子释放小球,小球运动,随即取下夹子。
③运行软件,点开“磁传感器”功能,手机记录下磁感应强度的变化。
④改变摆线长和夹子的位置,测量出各次实验的摆线长$ L $及相应的周期$ T $。

根据以上实验过程,回答下列问题。
(1)图乙中的$ a、b $分别记录了两次实验中磁感应强度的变化情况,$ a $图测得连续$ N $个磁感应强度最大值之间的总时间为$ t $,则单摆周期$ T $的测量值为$\frac{2t}{N - 1}$。$ b $图中手机记录下的磁感应强度几乎不变,可能的操作原因是形成了圆锥摆。

(2)实验中得到多组摆线长$ L $及相应的周期$ T $后,作出了$ T^{2}-L $图线,图线的斜率为$ k $,在纵轴上的截距为$ c $,由此得到当地重力加速度$ g = $$\frac{4\pi^{2}}{k}$,小球的半径$ R = $$\frac{c}{k}$。
(3)实验中,若手机放的位置不在悬点正下方,则测量结果不会影响实验结果。地磁场对该实验结果不会产生影响。(均选填“会”或“不会”)

答案： [答案]
(1)$\frac{2t}{N - 1}$ 形成了圆锥摆
(2)$\frac{4\pi^{2}}{k}$ $\frac{c}{k}$
(3)不会 不会
[解析]
(1)a图测得连续$N$个磁感应强度最大值之间的总时间为$t$，相邻的磁感应强度最大值之间时间间隔为$\frac{T}{2}$，则$\frac{T}{2}(N - 1) = t$，得$T = \frac{2t}{N - 1}$。b图中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是形成了圆锥摆，小球距离手机不变，磁感应强度几乎不变。
(2)单摆摆长$l = L + R$，由单摆周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，得$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{g}L + \frac{4\pi^{2}}{g}R$，图线的斜率为$k = \frac{4\pi^{2}}{g}$，纵轴上的截距为$c = \frac{4\pi^{2}}{g}R$，则当地重力加速度$g = \frac{4\pi^{2}}{k}$，小球的半径$R = \frac{c}{k}$。
(3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，则测量结果不会影响实验结果，靠近手机最近时，测得磁感应强度最大；地磁场对该实验结果不会产生影响，地磁场不变，实验中测量的是小球的磁感应强度和地磁场的磁感应强度的合矢量。