《2025年优化探究同步导学案高中物理选择性必修第一册人教版》

$3$.如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面$3\ m/s$的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为$h=0.3\ m$($h$小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为$m_1=30\ kg$，冰块的质量为$m_2=10\ kg$，小孩与滑板始终无相对运动。重力加速度的大小$g$取$10\ m/s^2$。

$(1)$求斜面体的质量。
$(2)$通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？

答案： 答案
(1)$20kg$
(2)见解析
解析
(1)选向左为正方向，冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为$v$，斜面体的质量为$m_3$。由动量守恒定律和机械能守恒定律得
$m_2v_0=(m_2+m_3)v$
$\frac{1}{2}m_2v_0^2=\frac{1}{2}(m_2+m_3)v^2+m_2gh$
式中$v_0=3m/s$为冰块被推出时的速度，联立两式并代入题给数据得$m_3=20kg$。
(2)选向右为正方向，设小孩推出冰块后小孩的速度为$v_1$，由动量守恒定律有$m_1v_1-m_2v_0=0$，
代入数据得$v_1=1m/s$
设冰块与斜面体分离后的速度分别为$v_2$和$v_3$，由动量守恒定律和机械能守恒定律有$-m_2v_0=m_2v_2+m_3v_3$
$\frac{1}{2}m_2v_0^2=\frac{1}{2}m_2v_2^2+\frac{1}{2}m_3v_3^2$
联立两式并代入数据得$v_2=1m/s$
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩。

$4$.竖直平面内的轨道$ABCD$由水平滑道$AB$与光滑的四分之一圆弧滑道$CD$组成，$AB$恰与圆弧$CD$在$C$点相切，轨道放在光滑的水平面上，如图所示。一个质量为$m$的小物块(可视为质点)从轨道的$A$端以初动能$E$冲上水平滑道$AB$，沿着轨道运动，由$DC$弧滑下后停在水平滑道$AB$的中点。已知水平滑道$AB$长为$L$，轨道$ABCD$的质量为$M=3m$。

$(1)$求小物块在水平滑道上受到的摩擦力的大小。
$(2)$为了保证小物块不从滑道的$D$端离开滑道，圆弧滑道的半径$R$至少是多大？

答案： 答案
(1)$\frac{E}{2L}$
(2)$\frac{E}{4mg}$
解析
(1)小物块冲上滑道的初速度设为$v$，则$E=\frac{1}{2}mv^2$，小物块最终停在AB的中点，跟滑道有相同的速度，设为$v'$，在这个过程中，系统水平方向动量守恒，有$mv=(M+m)v'$
系统损失的动能用于克服摩擦力做功，有
$\Delta E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}(M+m)v'^2$
而$\Delta E=\frac{3}{2}F_fL$
联立解得摩擦力的大小$F_f=\frac{E}{2L}$。
(2)若小物块刚好到达D处，此时它与滑道有共同的速度(与$v'$相等)，在此过程中系统总动能减少，转化为内能(克服摩擦做功)和物块的重力势能，有
$\Delta E_1=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}(M+m)v'^2$
而$\Delta E_1=F_fL+mgR$，解得要使物块不从D端离开滑道，CD圆弧的半径至少为$R=\frac{E}{4mg}$。