《2025年优化探究同步导学案高中物理选择性必修第一册人教版》

[典例 1]
如图所示，半径 $R_1 = 1\ m$ 的四分之一光滑圆弧轨道 $AB$ 与平台 $BC$ 在 $B$ 点平滑连接，半径 $R_2 = 0.8\ m$ 的四分之一圆弧轨道上端与平台 $C$ 端连接，下端与水平地面平滑连接，质量 $m = 0.1\ kg$ 的乙物块放在平台 $BC$ 的右端 $C$ 点，将质量也为 $m$ 的甲物块在 $A$ 点由静止释放，让其沿圆弧下滑，并滑上平台与乙相碰，碰撞后甲与乙粘在一起从 $C$ 点水平抛出，甲物块与平台间的动摩擦因数 $\mu = 0.2$，$BC$ 长 $L = 1\ m$，重力加速度 $g$ 取 $10\ m/s^2$，不计两物块的大小及碰撞所用的时间，求：

1. 甲物块滑到 $B$ 点时对轨道的压力大小；
2. 甲和乙碰撞后瞬间共同速度的大小；
3. 粘在一起的甲、乙两物块从 $C$ 点抛出到落到 $CDE$ 段轨道上所用的时间。

答案： [答案]
(1)3 N
(2)2 m/s
(3)0.4 s
[解析]
(1)甲物块从A点滑到B点，根据机械能守恒定律有
$mgR_{1}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}$
甲物块运动到B点时，根据牛顿第二定律有
$F_{N}-mg=m\frac{v_{1}^{2}}{R_{1}}$
联立解得$v_{1}=2\sqrt{5} m/s,F_{N}=3 N$
根据牛顿第三定律可知，甲物块在B点时对轨道的压力大小$F_{N}'=$
$F_{N}=3 N。$
(2)甲从B点向右滑动的过程中，做匀减速直线运动，加速度大小为
$a=μg=2 m/s^{2}$
设甲物块运动到与乙相碰前瞬间的速度为$v_{2}，$有
$v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=-2aL$
解得$v_{2}=4 m/s$
设甲、乙相碰后瞬间共同速度的大小为$v_{3}，$取向右为正方向，根据动
量守恒定律有$mv_{2}=2mv_{3}$
解得$v_{3}=2 m/s。$
(3)碰撞后，甲和乙以2 m/s的速度水平抛出，假设两物块会落到水
平地面上，则下落的时间$t=\sqrt{\frac{2R_{2}}{g}}=0.4 s$
则水平方向的位移$x=v_{3}t=0.8 m=R_{2}$
说明两物块刚好落到D点，假设成立
因此抛出后两物块落到CDE段轨道上所用时间为0.4 s。

[典例 2]
如图所示，质量 $M = 2\ kg$ 的小车 $A$ 静止在水平地面上，与右侧平台相距 $d = 1.25\ m$，小车上表面与平台等高。两个完全相同、质量均为 $m_1 = 6\ kg$ 的物块 $B$、$D$ 分别静止在小车和平台的最左端，用不可伸长的轻绳将质量 $m_2 = 4\ kg$ 的小球 $C$ 悬挂在物块 $B$ 正上方的 $O$ 点，轻绳处于水平拉直状态，绳长 $L = 1.25\ m$。将 $C$ 由静止释放，下摆至最低点时与 $B$ 发生弹性碰撞，一段时间后，$B$ 滑到小车的最右端时二者恰好共速，此后小车与平台发生碰撞并原速反弹，物块 $B$ 与 $D$ 碰撞并粘在一起。已知物块与小车上表面、平台的动摩擦因数均为 $\mu_1 = 0.4$，小车与地面的动摩擦因数 $\mu_2 = 0.2$，重力加速度 $g$ 取 $10\ m/s^2$。所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力。求：

1. $C$ 与 $B$ 碰撞后，摆动的最高点距离 $O$ 点的竖直高度；
2. $A$ 与 $B$ 共速时速度的大小；
3. 小车的长度；
4. 最终静止时 $B$ 与 $A$ 最右端的水平距离。

答案： [答案$] (1)1.2 m (2)2 m/s (3)1 m (4)\frac{9}{32} m$
[解析]
(1)对C，从开始摆动到碰撞前，有
$m_{2}gL=\frac{1}{2}m_{2}v_{0}^{2}$
C与B发生弹性碰撞，有
$m_{2}v_{0}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$
$\frac{1}{2}m_{2}v_{0}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$
对C，从碰撞后到最高点，有
$\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=m_{2}g(L-h)$
代入数据解得h=1.2 m。
(2)B在A上滑行时，对B有
$μ_{1}m_{1}g=m_{1}a_{B}$
对A有
$μ_{1}m_{1}g-μ_{2}(M+m_{1})g=Ma_{A}$
共速时$v=v_{1}-a_{B}t=a_{A}t$
解得共同速度v=2 m/s。
(3)共速时两物体的位移分别为
$x_{A}=\frac{v}{2}t$
$x_{B}=\frac{v_{1}+v}{2}t$
小车的长度
$l=x_{B}-x_{A}=1 m。$
(4)设小车与平台碰撞前速度为$v_{3}，$则
$v^{2}-v_{3}^{2}=2μ_{2}g(d-x_{A})$
对B、D碰撞过程有
$m_{1}v_{3}=2m_{1}v_{4}$
对B、D从碰撞后到静止的过程，有
$v_{4}^{2}=2μ_{1}gx_{B}'$
对A反弹后的过程，有
$v_{3}^{2}=2μ_{2}gx_{A}'$
最终静止时，B与A最右端的水平距离
$x=x_{A}'+x_{B}'$
解得$x=\frac{9}{32} m。$