《2025年优化探究同步导学案高中物理选择性必修第一册人教版》

[例 1] (多选)如图所示，c 是半径为 $ R $ 的 $ \frac{1}{4} $ 圆周的圆弧形光滑槽，其质量为 $ 3m $，静置于光滑水平面上，$ A $ 为与 $ c $ 的圆心等高的点，$ B $ 为 $ c $ 的最低点，与水平面相切。将可视为质点、质量为 $ m $ 的小球 $ a $ 从槽口 $ A $ 点自由释放。整个过程中，不计一切阻力，重力加速度为 $ g $。下列说法正确的是 (AC)


A.小球 $ a $ 下滑到 $ B $ 点的过程中，$ a $ 和 $ c $ 组成的系统机械能守恒，水平方向动量守恒
B.小球 $ a $ 下滑到 $ B $ 点时，小球 $ a $ 的速率为 $ \sqrt{2gR} $
C.小球 $ a $ 下滑到 $ B $ 点时，光滑槽 $ c $ 的速率为 $ \sqrt{\frac{gR}{6}} $
D.小球 $ a $ 下滑到 $ B $ 点时所受支持力大小为 $ 3mg $

答案： AC 小球a下滑到B点的过程中，小球a和光滑槽c组成的系统中只有重力做功，机械能守恒，小球a和光滑槽c组成的系统合外力不为零，但水平方向合力为零，因此水平方向动量守恒，故A正确；小球a下滑到B点时，小球a和光滑槽c组成的系统水平方向动量守恒，小球a向右运动，光滑槽c向左运动，有$mv_1 - 3mv_2 = 0$，根据机械能守恒定律有$mgR = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2} × 3mv_2^2$，解得$v_1 = \sqrt{\frac{3gR}{2}}$，$v_2 = \sqrt{\frac{gR}{6}}$，故小球a下滑到B点时，小球a的速率为$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$，光滑槽c的速率为$\sqrt{\frac{gR}{6}}$，故B错误，C正确；小球a下滑到B点时，根据牛顿第二定律有$F_N - mg = m\frac{(v_1 + v_2)^2}{R}$，则小球a第一次下滑到B点时所受支持力大小为$F_N = \frac{11}{3}mg$，故D错误。

[例 2] (多选)在光滑的水平地面上，有一个质量为 $ 2m $ 的物块 $ B $，物块 $ B $ 上方由铰链固定一根长为 $ L $ 的可转动轻杆，轻杆顶端固定一个质量为 $ m $ 的小球 $ A $。开始时轻杆处于竖直方向，现给小球 $ A $ 一个向左的轻微扰动，重力加速度大小为 $ g $，则下列说法正确的是 (AD)

A.若物块 $ B $ 固定，则当轻杆转到水平方向时，小球 $ A $ 的速度大小为 $ \sqrt{2gL} $
B.若物块 $ B $ 不固定，则 $ A $、$ B $ 组成的系统水平方向上动量不守恒
C.若物块 $ B $ 不固定，则当轻杆转到水平方向时，物块 $ B $ 的速度大小为 $ \sqrt{\frac{gL}{2}} $
D.若物块 $ B $ 不固定，则当轻杆转到水平方向时，小球 $ A $ 的速度大小为 $ \sqrt{2gL} $

答案： AD 若物块B固定，给小球A一个向左的轻微扰动动后，小球A转动过程中只有重力做功，则当轻杆转到水平方向时，小球A的重力势能全部转换为动能，由机械能守恒定律有$mgL = \frac{1}{2}mv^2$，解得小球A的速度大小为$v = \sqrt{2gL}$，故A正确；若B不固定，当轻杆转到水平方向时，A、B在水平方向上动量守恒，并且沿杆方向速度相等，则A、B的水平速度都为零，即B的速度为零，A只有竖直方向的速度，根据系统机械能守恒得$mgL = \frac{1}{2}mv_1^2$，解得小球A的速度大小为$v_1 = \sqrt{2gL}$，故B、C错误，D正确。