《2025年优化探究同步导学案高中物理选择性必修第一册人教版》

[例$5$] 如图所示，质量为$M$的木块静止于光滑的水平面上，一质量为$m$、速度为$v_0$的子弹水平射入木块且未穿出，设木块对子弹的阻力恒为$F$，求：

$(1)$子弹与木块相对静止时二者共同速度为多大；
$(2)$射入过程中产生的内能和子弹对木块所做的功分别为多少；
$(3)$木块至少为多长时子弹不会穿出。

答案： [答案]
(1)$\frac{mv_0}{m+M}$
(2)$\frac{Mmv_0^2}{2(M+m)}$
(3)$\frac{M^2v_0^2}{2(M+m)F}$
[解析]
(1)子弹与木块组成的系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得$mv_0=(m+M)v$
解得$v=\frac{mv_0}{m+M}$。
(2)由能量守恒定律可知$\frac{1}{2}mv_0^2=Q+\frac{1}{2}(m+M)v^2$
解得产生的内能为$Q=\frac{Mmv_0^2}{2(M+m)}$
由动能定理得，子弹对木块所做的功为
$W=\frac{1}{2}Mv^2=\frac{M^2v_0^2}{2(M+m)^2}$。
(3)设木块最小长度为$L$，由能量守恒定律知$FL=Q$
解得木块的最小长度为$L=\frac{Mmv_0^2}{2(M+m)F}$。

[例$6$] (多选)如图所示，一质量$M=8.0\ kg$的长方形木板$B$放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量$m=2.0\ kg$的小木块$A$。给$A$和$B$以大小均为$5.0\ m/s$、方向相反的初速度，使$A$开始向左运动，$B$开始向右运动，$A$始终没有滑离$B$板，$A$、$B$之间的动摩擦因数是$0.5$。在整个过程中，下列说法正确的是　　(AD)


A.小木块$A$的速度减为零时，长木板$B$的速度大小为$3.75\ m/s$
B.小木块$A$的速度方向一直向左，不可能为零
C.小木块$A$与长木板$B$共速时速度大小为$3\ m/s$，方向向左
D.长木板的长度可能为$10\ m$

答案： AD A、B组成的系统动量守恒，取木板运动方向为正方向，根据动量守恒定律可知$Mv_0-mv_0=Mv_1+0$，解得$v_1=3.75m/s$，A正确；设A、B最终速度为$v_2$，根据动量守恒定律得$Mv_0-mv_0=(M+m)v_2$，解得$v_2=3m/s$，因此A、B最终一起向右运动，且速度大小为$3m/s$，B、C错误；根据能量守恒定律有$\mu mgL=\frac{1}{2}Mv_0^2+\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}(M+m)v_2^2$，整理得长木板的长度至少为$L=8m$，因此长木板的长度可能为$10m$，D正确。

$1$.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块$P$和$Q$质量相等，都可视为质点，$Q$与轻质弹簧相连。设$Q$静止，$P$以某一初速度向$Q$运动并与弹簧发生相互作用。在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于　　(B)


A.$P$的初动能
B.$P$的初动能的$\frac{1}{2}$
C.$P$的初动能的$\frac{1}{3}$
D.$P$的初动能的$\frac{1}{4}$

答案： B 把小滑块P和Q以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒，在整个过程中，当小滑块P和Q的速度相同时，弹簧的弹性势能最大。以P的初速度方向为正方向，设小滑块P的初速度为$v_0$，两滑块的质量均为$m$，则$mv_0=2mv$，解得$v=\frac{v_0}{2}$，P的初动能$E_{k0}=\frac{1}{2}mv_0^2$，
弹簧具有的最大弹性势能$E_p=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}×2mv^2=\frac{1}{4}mv_0^2=\frac{1}{2}E_{k0}$，故选项B正确。

$2$.(多选)如图所示，质量为$4m$的木板静止在足够大的光滑水平地面上，质量为$3m$的木块静止在木板的左端。质量为$m$的子弹以大小为$v_0$的初速度射入木块，子弹射入木块后未穿出木块，且木块恰好未滑离木板。木块与木板间的动摩擦因数为$\mu$，重力加速度大小为$g$，子弹与木块均视为质点，不计子弹射入木块的时间。下列说法正确的是　　(ABD)


A.子弹射入木块的过程，子弹和木块组成的系统动量守恒、机械能不守恒
B.子弹射入木块后共同速度为$\frac{v_0}{4}$
C.木板的长度为$\frac{v_0^2}{32\mu g}$
D.木块在木板上滑行的时间是$\frac{v_0}{8\mu g}$

答案： ABD 子弹射入木块的过程，由于内力远远大于外力，所以子弹和木块组成的系统动量守恒，由于子弹射入木块的过程有热量产生，所以子弹和木块组成的系统机械能不守恒，A正确；设子弹射入木块后共同速度为$v_1$，对子弹和木块组成的系统，根据动量守恒定律有$mv_0=(m+3m)v_1$，解得$v_1=\frac{v_0}{4}$，B正确；木块恰好未滑离木板，设共同速度为$v_2$，对子弹、木块和木板组成的系统，根据动量守恒定律有$(m+3m)v_1=(m+3m+4m)v_2$，解得$v_2=\frac{v_0}{8}$，根据能量守恒定律有$\frac{1}{2}(m+3m)v_1^2=\frac{1}{2}(m+3m+4m)v_2^2+\mu(m+3m)gL$，解得$L=\frac{v_0^2}{64\mu g}$，C错误；对木板，根据动量定理有$\mu(m+3m)gt=4mv_2-0$，
解得$t=\frac{v_0}{8\mu g}$，D正确。