《2026年新高考5年真题高中物理全一册通用版湖南专版》

15. (16分)某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，需要将质量为$m$的机器人抛至悬崖上的$A$点，图为山体截面与表演装置示意图。$a$、$b$为同一水平面上两条光滑平行轨道，轨道中有质量为$M$的滑杆。滑杆用长度为$L$的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳绷紧且与轨道平行，机器人从$B$点以初速度$v$竖直向下运动，$B$点位于轨道平面上，且在$A$点正下方，$AB = 1.2L$。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终在同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长，$\sin 37° = 0.6$，重力加速度大小为$g$。
(1) 若滑杆固定，$v = \sqrt{gL}$，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小。
(2) 若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为$37°$时，机器人松开轻绳后被抛至$A$点，求$v$的大小。
(3) 若滑杆能沿轨道自由滑动，$M = km$，且$k \geqslant 1$，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为$37°$时，机器人松开轻绳后被抛至$A$点，求$v$与$k$的关系式及$v$的最小值。

答案：
15.参考答案
(1)$4mg$
(2)$\frac{\sqrt{370gL}}{10}$
(3)$v=\sqrt{\frac{14}{5}gL+\frac{9kgL}{10(1 + k)}}(k\geq1)$
命题意图本题考查动能定理、圆周运动、斜抛运动、相对速度和人船模型，考查考生的推理能力、分析综合能力和应用数学处理物理问题的能力。
解题思路
(1)若滑杆固定，则机器人从$B$点运动到滑杆正下方的过程中做圆周运动，只有重力对机器人做功，设机器人运动到滑杆正下方时的速度大小为$v'$，则由动能定理有$mgL=\frac{1}{2}mv'^2-\frac{1}{2}mv^2$，机器人运动到滑杆正下方时，对机器人，由牛顿第二定律可得$F_T - mg=m\frac{v'^2}{L}$，又$v=\sqrt{gL}$，联立解得机器人运动到滑杆正下方时轻绳拉力的大小$F_T = 4mg$。
(2)设机器人松开轻绳时的速度大小为$v''$，根据题意作出机器人松开轻绳时的位置及速度方向，如图甲所示。

机器人从$B$点运动到松开轻绳时的过程，由动能定理有$-mgL\sin37^{\circ}=\frac{1}{2}mv''^2-\frac{1}{2}mv^2$，机器人松开轻绳后做斜上抛运动，设机器人从松开轻绳到抛至$A$点所用时间为$t$，则在水平方向上，有$L + L\cos37^{\circ}=v''\sin37^{\circ}× t$，在竖直方向上，有$1.2L - L\sin37^{\circ}=v''\cos37^{\circ}× t-\frac{1}{2}gt^2$，联立解得$v=\frac{\sqrt{370gL}}{10}$。
(3)机器人从开始运动到运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向的夹角为$37^{\circ}$的过程中，机器人与滑杆组成的系统在水平方向上动量守恒，根据人船模型可得$mx_1 = Mx_2$，$x_1 + x_2 = L + L\cos37^{\circ}$，又$M = km$，联立解得机器人松开轻绳时，机器人距离$A$点的水平距离为$x_1=\frac{9kL}{5(k + 1)}$。设机器人松开轻绳时相对滑杆的速度大小为$v_{相}$，滑杆的速度大小为$v_M$，作出此时两速度的示意图，如图乙所示。

则机器人松开轻绳时水平方向分速度大小为$v_x=v_{相}\sin37^{\circ}-v_M$，机器人松开轻绳时竖直方向分速度大小为$v_y=v_{相}\cos37^{\circ}$，由于机器人和滑杆组成的系统水平方向动量守恒，则有$mv_x = Mv_M$，机器人从$B$点运动到松开轻绳的过程，系统机械能守恒，则有$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2)+\frac{1}{2}Mv_M^2+mgL\sin37^{\circ}$，机器人松开轻绳后做斜上抛运动到$A$点，设该过程的运动时间为$t'$，则水平方向有$x_1 = v_xt'$，竖直方向有$1.2L - L\sin37^{\circ}=v_yt'-\frac{1}{2}gt'^2$，联立解得$v=\sqrt{\frac{14}{5}gL+\frac{9kgL}{10(1 + k)}}(k\geq1)$。由$v=\sqrt{\frac{14}{5}gL+\frac{9kgL}{10(1 + k)}}=\sqrt{\frac{9gL}{10(1 + k)}+\frac{14}{5}gL}$，可知当$k = 1$时，$v$取最小值，最小值为$v_{min}=\frac{\sqrt{13gL}}{2}$。