《2026年新高考5年真题高中物理全一册通用版湖南专版》

14. (14 分) 如图，有一内半径为 $2r$、长为 $L$ 的圆筒，左右端面圆心 $O'$、$O$ 处各开有一小孔。以 $O$ 为坐标原点，取 $O'O$ 方向为 $x$ 轴正方向建立 $xyz$ 坐标系。在筒内 $x \leq 0$ 区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为 $B$，方向沿 $x$ 轴正方向；筒外 $x \geq 0$ 区域有一匀强电场，场强大小为 $E$，方向沿 $y$ 轴正方向。一电子枪在 $O'$ 处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在 $xOy$ 平面内，且在 $x$ 轴正方向的分速度大小均为 $v_0$。已知电子的质量为 $m$、电量为 $e$，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。

(1) 若所有电子均能经过 $O$ 进入电场，求磁感应强度 $B$ 的最小值;
(2) 取(1)问中最小的磁感应强度 $B$，若进入磁场中电子的速度方向与 $x$ 轴正方向最大夹角为 $\theta$，求 $\tan \theta$ 的绝对值;
(3) 取(1)问中最小的磁感应强度 $B$，求电子在电场中运动时 $y$ 轴正方向的最大位移。

答案： 14.参考答案
(1)$\frac{2\pi mv_{0}}{eL}$
(2)$\frac{2\pi r}{L}$
(3)$\frac{2\pi^{2}mv_{0}^{2}r^{2}}{eEL^{2}}$
命题意图本题考查电子在电磁场中的三维运动，考查考生的推理能力和分析综合能力。
解题思路
(1)将电子的初速度分解为沿$x$轴方向的速度$v_{0}$和沿$y$轴方向的速度$v_{0}$，则电子做沿$x$轴正方向的匀速运动和投影到$yOz$平面内的圆周运动，又电子做匀速圆周运动的周期为$T=\frac{2\pi m}{eB}$，电子均能经过$O$进入电场，则有$\frac{L}{v_{0}}=nT(n =1,2,3,·s)$，联立解得$B=\frac{2n\pi mv_{0}}{eL}(n =1,2,3,·s)$，当$n =1$时，$B$取最小值，有$B_{min}=\frac{2\pi mv_{0}}{eL}$。
(2)由于电子始终未与筒壁碰撞，则电子投影到$yOz$平面内的圆周运动的最大半径为$r$，由洛伦兹力提供向心力有$ev_{0\max}B =m\frac{v_{0\max}^{2}}{r}$，则$\vert\tan\theta\vert=\frac{v_{0\max}}{v_{0}}=\frac{2\pi r}{L}$。
(3)电子在电场中做类斜抛运动，当电子运动到$O$点时沿$y$轴正方向的分速度大小为$v_{y0\max}$时，电子在电场中沿$y$轴正方向运动的位移最大，由牛顿第二定律有$eE =ma$，由速度－位移公式有$2ay_{m}=v_{y0\max}^{2}$，联立解得$y_{m}=\frac{2\pi^{2}mv_{0}^{2}r^{2}}{eEL^{2}}$。