《2026年新高考5年真题高中物理全一册通用版湖南专版》

14. (15分)如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为$L$的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道$PQ$。质量为$m$的小物块$A$与水平轨道间的动摩擦因数为$\mu$。以水平轨道末端$O$点为坐标原点建立平面直角坐标系$xOy$，$x$轴的正方向水平向右，$y$轴的正方向竖直向下，弧形轨道$P$端坐标为$(2\mu L,\mu L)$，$Q$端在$y$轴上。重力加速度为$g$。

(1) 若$A$从倾斜轨道上距$x$轴高度为$2\mu L$的位置由静止开始下滑，求$A$经过$O$点时的速度大小；
(2) 若$A$从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过$O$点落在弧形轨道$PQ$上的动能均相同，求$PQ$的曲线方程；
(3) 将质量为$\lambda m$($\lambda$为常数且$\lambda \geqslant 5$)的小物块$B$置于$O$点，$A$沿倾斜轨道由静止开始下滑，与$B$发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，要使$A$和$B$均能落在弧形轨道上，且$A$落在$B$落点的右侧，求$A$下滑的初始位置距$x$轴高度的取值范围。

答案： 14.参考答案
(1)$\sqrt{2\mu gL}$
(2)$x = 2\sqrt{2\mu Ly - y^{2}}$(其中$\mu L \leq y \leq 2\mu L$)
(3)$\frac{3\lambda - 1}{\lambda - 3}\mu L ＜ h \leq \frac{\lambda^{2} + \lambda + 1}{(\lambda - 1)^{2}} · 4\mu L$
命题意图本题考查动能定理、平抛运动规律、弹性碰撞及其相关知识点，考查考生的推理能力和分析综合能力。
解题思路
(1)小物块$A$由静止开始下滑至$O$点的过程中，根据动能定理有$mg · 2\mu L - \mu mgL = \frac{1}{2}mv^{2}$，解得$v = \sqrt{2\mu gL}$。
(2)小物块$A$从$O$点飞出后做平抛运动，设飞出时的初速度为$v_{0}$，落在弧形轨道上的坐标为$(x,y)$，将小物块$A$的运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，有$x = v_{0}t$，$y = \frac{1}{2}gt^{2}$，
解得水平初速度$v_{0} = x\sqrt{\frac{g}{2y}}$。
小物块$A$从$O$点运动到落点的过程中，根据动能定理可知$mgy = E_{k} - \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，
解得小物块$A$在落点处的动能为$E_{k} = mgy + \frac{1}{2}mv_{0}^{2} = mgy + \frac{mgx^{2}}{4y}$。
因为小物块$A$落在弧形轨道上的动能均相同，将落点$P(2\mu L,\mu L)$的坐标代入，可得$E_{k} = mg × \mu L + \frac{mg × (2\mu L)^{2}}{4 × \mu L} = 2\mu mgL$，
化简可得$y + \frac{x^{2}}{4y} = 2\mu L$，
即$x = 2\sqrt{2\mu Ly - y^{2}}$(其中$\mu L \leq y \leq 2\mu L$)。
(3)设小物块$A$在倾斜轨道上从距$x$轴高为$h$处由静止下滑，到达$O$点与小物块$B$碰撞前，其速度为$v_{0}^{\prime}$，根据动能定理可知$mgh - \mu mgL = \frac{1}{2}mv_{0}^{\prime 2}$，
解得$v_{0}^{\prime 2} = 2gh - 2\mu gL$。
小物块$A$与$B$发生弹性碰撞，要使$A$和$B$均能落在弧形轨道上，且$A$落在$B$落点的右侧，则$A$与$B$碰撞后需要反弹，再经过水平轨道—倾斜轨道—水平轨道，再次到达$O$点。规定水平向右为正方向，设碰后$A$、$B$的速度大小分别为$v_{1}$、$v_{2}$。
在小物块$A$与$B$碰撞过程中，由动量守恒定律、能量守恒定律有$mv_{0}^{\prime} = - mv_{1} + \lambda mv_{2}$，$\frac{1}{2}mv_{0}^{\prime 2} = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} + \frac{1}{2} · \lambda mv_{2}^{2}$，
联立解得$v_{1} = \frac{\lambda - 1}{\lambda + 1}v_{0}^{\prime}$，$v_{2} = \frac{2}{\lambda + 1}v_{0}^{\prime}$。
设碰撞后小物块$A$反弹，再次到达$O$点时的速度为$v_{3}$，根据动能定理有$- 2\mu mgL = \frac{1}{2}mv_{3}^{2} - \frac{1}{2}mv_{1}^{2}$，
解得$v_{3}^{2} = v_{1}^{2} - 4\mu gL$。
要使$A$落在$B$落点的右侧，则$v_{3} ＞ v_{2}$，
据题意，$A$和$B$均能落在弧形轨道上，则$A$必须落在$P$点的左侧，即$v_{3} \leq \sqrt{2\mu gL}$，
联立可得$h$的取值范围为$\frac{3\lambda - 1}{\lambda - 3}\mu L ＜ h \leq \frac{\lambda^{2} + \lambda + 1}{(\lambda - 1)^{2}} · 4\mu L$。
方法总结
弹性碰撞满足动量守恒定律和能量守恒定律。