《2026年新高考5年真题高中物理全一册通用版湖南专版》

14. (15 分) 如图(a),质量为$m$的篮球从离地$H$高度处由静止下落,与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地$h$的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所重力的$\lambda$倍($\lambda$为常数且 $0＜\lambda＜\frac{H-h}{H+h}$),且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同,重力加速度大小为$g$。
(1) 求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比;
(2) 若篮球反弹至最高处$h$时,运动员对篮球施加一个向下的压力$F$,使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至$h$的高度处,力$F$随高度$y$的变化如图(b)所示,其中$h_0$已知,求$F_0$的大小;
(3) 篮球从$H$高度处由静止下落后,每次反弹至最高点时,运动员拍击一次篮球(拍击时间极短),瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量$I$,经过$N$次拍击后篮球恰好反弹至$H$高度处,求冲量$I$的大小。

答案： 14.参考答案
(1)$\sqrt{\frac{(1 + λ)h}{(1 - λ)H}}$　
(2)$\frac{2mg(1 - λ)(H - h)}{h - h_{0}}$　
(3)m$\sqrt{\frac{2g(1 - λ)(H - h)(H^{N + 1}-h^{N + 1})}{h(H^{N}-h^{N})}}$
命题意图本题考查力学的综合问题，考查考生的推理能力和应用数学处理物理问题的能力。
解题思路
(1)篮球下落的过程，由动能定理有mgH - λmgH = $\frac{1}{2}$mv_{1}^{2}，篮球与地面碰撞后上升的过程，由动能定理有 - mgh - λmgh = 0 - $\frac{1}{2}$mv_{2}^{2}，联立解得篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比$\frac{v_{2}}{v_{1}}$ = $\sqrt{\frac{(1 + λ)h}{(1 - λ)H}}$。
(2)篮球从h处下落的过程，由动能定理有F_{0}(h - h_{0}) - $\frac{1}{2}$mv^{2}=，由
(1)中结论及题意可知，篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比$\frac{v_{4}}{v_{3}}$ = $\sqrt{\frac{(1 + λ)h}{(1 - λ)H}}$，联立解得F_{0}=$\frac{2mg(1 - λ)(H - h)}{h - h_{0}}$。
(3)由
(1)问可知篮球下降和上升过程中的加速度分别为a_{下}=(1 - λ)g，方向向下，a_{上}=(1 + λ)g，方向向下。由题知运动员拍击一次篮球(拍击时间极短)，瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时间极短，则重力的冲量可忽略不计，根据动量定理有I = mv，即每拍击一次篮球将给它一个竖直向下的速度v。第1次拍击篮球，下降过程有v_{1}^{2}-v² = 2(1 - λ)gs_{1}，上升过程有[$\sqrt{\frac{(1 + λ)h}{(1 - λ)H}}$v_{1}]² = 2(1 + λ)gs_{1}，联立解得s_{1}=$\frac{h}{H}$[s_{0}+$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$]=($\frac{h}{H}$)^{1}·s_{0}+($\frac{h}{H}$)^{1}·$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$。第2次拍击篮球，下降过程有v_{2}^{2}-v² = 2(1 - λ)gs_{2}，上升过程有[$\sqrt{\frac{(1 + λ)h}{(1 - λ)H}}$v_{2}]² = 2(1 + λ)gs_{2}，联立解得s_{2}=$\frac{h}{H}$[s_{1}+$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$]。再将s_{1}代入，可得s_{2}=($\frac{h}{H}$)²·s_{0}+($\frac{h}{H}$)²·$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$+($\frac{h}{H}$)^{1}·$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$。第3次拍击篮球，下降过程有v_{3}^{2}-v² = 2(1 - λ)gs_{3}，上升过程有[$\sqrt{\frac{(1 + λ)h}{(1 - λ)H}}$v_{3}]² = 2(1 + λ)gs_{3}，联立解得s_{3}=$\frac{h}{H}$[s_{2}+$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$]，再将s_{2}代入，可得s_{3}=($\frac{h}{H}$)³·s_{0}+($\frac{h}{H}$)³·$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$+…+($\frac{h}{H}$)^{1}·$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$。直到第N次拍击篮球，下降过程有v_{N}^{2}-v² = 2(1 - λ)gs_{N - 1}，上升过程有[$\sqrt{\frac{(1 + λ)h}{(1 - λ)H}}$v_{N}]² = 2(1 + λ)gs_{N}，联立解得s_{N}=$\frac{h}{H}$[s_{N - 1}+$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$]，将s_{N - 1}代入，可得s_{N}=($\frac{h}{H}$)^{N}·s_{0}+($\frac{h}{H}$)^{N}·$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$+…+($\frac{h}{H}$)^{1}·$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$。其中s_{N}=H，s_{0}=h，则有H = ($\frac{h}{H}$)^{N}·h+[$\frac{h}{H}-(\frac{h}{H})^{N + 1}$]$\frac{v^{2}}{2g(1 - λ)}$，解得v = $\sqrt{\frac{2g(1 - λ)(H - h)(H^{N + 1}-h^{N + 1})}{h(H^{N}-h^{N})}}$，则冲量I = mv = m$\sqrt{\frac{2g(1 - λ)(H - h)(H^{N + 1}-h^{N + 1})}{h(H^{N}-h^{N})}}$。

15. [物理—— 选修 3 - 3](13 分)
(1) (5 分) 利用“涡流效应”可实现冷热气体的分离。如图,一冷热气体分离装置由喷嘴、涡流室、环形管、分离挡板和冷热两端管等构成。高压氮气由喷嘴切向流入涡流室中,然后以螺旋方式在环形管中向右旋转前进,分子热运动速率较小的气体分子将聚集到环形管中心部位,而分子热运动速率较大的气体分子将聚集到环形管边缘部位。气流到达分离挡板处时,中心部位气流与分离挡板碰撞后反向,从$A$端流出,边缘部位气流从$B$端流出。下列说法正确的是ABE(选对 1 个得 2 分,选对 2 个得 4 分,选对 3 个得 5 分。每选错 1 个扣 3 分,最低得分为 0 分)。

A. $A$ 端为冷端,$B$ 端为热端
B. $A$ 端流出的气体分子热运动平均速率一定小于$B$端流出的
C. $A$ 端流出的气体内能一定大于$B$端流出的
D. 该装置气体进出的过程满足能量守恒定律,但违背了热力学第二定律
E. 该装置气体进出的过程既满足能量守恒定律，也满足热力学第二定律
(2) (8 分) 如图,小赞同学设计了一个液体拉力测量仪。一个容积 $V_0=9.9\ L$ 的导热汽缸下接一圆管,用质量 $m_1=90\ g$、横截面积 $S=10\ cm^2$ 的活塞封闭一定质量的理想气体,活塞与圆管壁间摩擦不计。活塞下端用轻质细绳悬挂一质量 $m_2=10\ g$ 的 U 形金属丝,活塞刚好处于$A$位置。将金属丝部分浸入待测液体中,缓慢升起汽缸,使金属丝从液体中拉出,活塞在圆管中的最低位置为$B$。已知$A、B$间距离 $h=10\ cm$,外界大气压强 $p_0=1.01×10^5\ Pa$,重力加速度取 $10\ m/s^2$,环境温度保持不变。求:
(ⅰ) 活塞处于$A$位置时,汽缸中的气体压强$p_1$;
(ⅱ) 活塞处于$B$位置时,液体对金属丝拉力$F$的大小。

答案： 15.参考答案
(1)ABE　
(2)(i)1.0×10⁵Pa　(ii)1N
命题意图本题考查分子动理论、热力学定律和气体实验定律，考查考生的理解能力和推理能力。
解题思路
(1)由题意可知热运动速率较小的气体分子聚集到环形管的中心部位，与分离挡板碰撞后反向从A端流出，热运动速率较大的气体分子聚集到环形管的边缘部位，从B端流出，所以A端为冷端，B端为热端，故A正确。由于A端温度较低，B端温度较高，所以A端流出的气体分子热运动平均速率一定小于B端流出的，故B正确。A端流出的气体分子热运动的平均动能一定小于B端流出的气体分子热运动的平均动能，但气体的内能还与分子数有关，所以不能判断A端流出的气体内能与B端流出的气体内能的大小关系，故C错误。该装置气体进出的过程满足能量守恒定律，喷嘴处有高压，通过外界做功实现对冷热气体的分离，并非冷热气体自发进行的，没有违背热力学第二定律，故D错误，E正确。
(2)(i)对活塞和金属丝整体进行受力分析，则有$p_{1}S+(m_{1}+m_{2})g = p_{0}S，$解得$p_{1}=1.0×10⁵Pa。$
(ii)由题意可知汽缸内气体发生等温变化，根据玻意耳定律有$p_{1}V_{0}=p_{2}(V_{0}+Sh)，$对活塞和金属丝整体进行受力分析，则有$p_{2}S+(m_{1}+m_{2})g+F = p_{0}S，$联立解得F = 1N。
思路点拨“力学搭台，热学唱戏”是这类题目的特点，首先选取研究对象，进行受力分析，从而确定气体的压强，然后通过气体实验定律解决问题。