《2026年新高考5年真题高中物理全一册通用版湖南专版》

9. [2025·山东卷,18T,16分]如图所示，平行轨道的间距为$L$，轨道平面与水平面夹角为$\alpha$，二者的交线与轨道垂直，以轨道上$O$点为坐标原点，沿轨道向下为$x$轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ($-2L\leq x＜-L$)内充满磁感应强度大小为$B$、方向竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ($x\geq0$)内充满方向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小$B_1=k_1t+k_2x$，$k_1$和$k_2$均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间$t$均匀增加的匀强磁场和随$x$轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为$m$、边长为$L$、电阻为$R$的匀质正方形闭合金属框$epqf$放置在轨道上，$pq$边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、足够长且不可移动，磁场上、下边界均与$x$轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为$g$，不计自感。

(1)若金属框从开始进入到完全离开区域Ⅰ的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率$v$和释放时$pq$边与区域Ⅰ上边界的距离$s$；
(2)金属框沿轨道下滑，当$ef$边刚进入区域Ⅱ时开始计时($t=0$)，此时金属框的速率为$v_0$，若$k_1=\frac{mgR\sin\alpha}{k_2L^4}$，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，$ef$边移动的距离$d$。

答案： 9.参考答案
(1)$\frac{mgR\tan\alpha}{B^{2}L^{2}\cos\alpha}$ $\frac{m^{2}gR^{2}\sin\alpha}{2B^{4}L^{4}\cos^{2}\alpha}$
(2)$\frac{mRv_{0}}{k^{2}L^{4}}$
命题意图本题考查法拉第电磁感应定律、动能定理和动量定理，考查考生的理解能力、推理能力和分析综合能力。
解题思路
(1)金属框从开始进入到完全离开区域Ⅰ的过程中，金属框始终只有一条边切割磁感线，则感应电动势为$E = B\cos\alpha· Lv$，
金属框中的感应电流为$I=\frac{E}{R}$，
又金属框在此过程中做匀速直线运动，则有$B\cos\alpha· IL = mg\sin\alpha$，
联立解得金属框从开始进入到完全离开区域Ⅰ的过程中，运动的速率$v=\frac{mgR\tan\alpha}{B^{2}L^{2}\cos\alpha}$。
金属框从开始释放到pq边进入磁场的过程中，根据动能定理可得$mg\sin\alpha· s=\frac{1}{2}mv^{2}$，
解得释放时pq边与区域Ⅰ上边界的距离$s=\frac{m^{2}gR^{2}\sin\alpha}{2B^{4}L^{4}\cos^{2}\alpha}$。
(2)金属框在区域Ⅱ运动时产生的感应电动势$E^{\prime}=E_{感}+E_{动}=\frac{\Delta B_{感}}{\Delta t}L^{2}+(B_{动2}Lv - B_{动1}Lv)=k_{1}L^{2}+k_{2}L^{2}v=(k_{1}+k_{2}v)L^{2}$，
感应电流$I^{\prime}=\frac{E^{\prime}}{R}$。