《2026年新高考5年真题高中物理全一册通用版湖南专版》

15. (16 分) 如图，半径为 $R$ 的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为 $m_A$ 和 $m_B$ 的小球 A 和 $B(m_A ＞ m_B)$。初始时小球 A 以初速度 $v_0$ 沿圆环切线方向运动，与静止的小球 B 发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。

(1) 若小球 A 与 B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小;
(2) 若小球 A 与 B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比$\frac{m_A}{m_B}$;
(3) 若小球 A 与 B 之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的 $e$ 倍($0 ＜ e ＜ 1$)，求第 1 次碰撞到第 $2n + 1$ 次碰撞之间小球 B 通过的路程。

答案： 15.参考答案
(1)$\frac{m_{A}v_{0}}{m_{A}+m_{B}}$ $\frac{m_{A}^{2}v_{0}^{2}}{(m_{A}+m_{B})R}$
(2)$2$或$5$
(3)$\frac{2\pi m_{A}R(e^{2n}-1)}{(m_{A}+m_{B})e^{2n}(e -1)}$
命题意图本题考查小球在圆环中多次碰撞的问题，考查考生的推理能力和应用数学处理物理问题的能力。
解题思路
(1)若小球$A$与$B$碰撞后结合在一起，则小球$A、B$发生完全非弹性碰撞，碰撞过程动量守恒，设碰后小球组合体的速度大小为$v$，则有$m_{A}v_{0}=(m_{A}+m_{B})v$，解得$v=\frac{m_{A}v_{0}}{m_{A}+m_{B}}$。根据向心力公式$F_{向}=(m_{A}+m_{B})\frac{v^{2}}{R}$，可得小球组合体做圆周运动所需向心力$F_{向}=\frac{m_{A}^{2}v_{0}^{2}}{(m_{A}+m_{B})R}$。
(2)若小球$A、B$之间为弹性碰撞，则碰撞过程动量守恒、机械能守恒，两球第一次碰撞位置在$B$球初始位置，设碰后$A、B$的速度分别为$v_{1}、v_{2}$，由动量守恒定律有$m_{A}v_{0}=m_{A}v_{1}+m_{B}v_{2}$，由机械能守恒定律有$\frac{1}{2}m_{A}v_{0}^{2}=\frac{1}{2}m_{A}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{B}v_{2}^{2}$，联立解得$v_{1}=\frac{m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}v_{0}$，$v_{2}=\frac{2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}v_{0}$。因$m_{A}＞m_{B}$，则碰后瞬间两球同向运动，又$\frac{v_{1}}{v_{2}}＜\frac{1}{2}$，结合$(v_{2}-v_{1})t =2\pi R$可知，从第一次碰撞到第二次碰撞的过程，$A$通过的路程小于一个圆周，又$A$与$B$之间所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，则第一种情况：碰后$B$球比$A$球多运动一圈，$A$球运动了$\frac{1}{3}$圈，则有$\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{1}{4}$，可得$\frac{m_{A}}{m_{B}}=2$。第二种情况：碰后$B$球比$A$球多运动一圈，$A$球运动了$\frac{2}{3}$圈，则有$\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{2}{5}$，可得$\frac{m_{A}}{m_{B}}=5$。由动量守恒定律和机械能守恒定律可知两种情况下第二次碰撞后$A$球速度重新变为$v_{0}$，$B$球的速度变为$0$，之后两小球做周期性运动，两种情况均符合题意。
(3)由题意可知，第$1$次碰后瞬间，两球相对速度大小为$ev_{0}$，$B$比$A$多运动一圈后发生第$2$次碰撞，设第$1、2$次碰撞的时间间隔为$t_{1}$，圆周长为$L =2\pi R$，则$t_{1}=\frac{L}{v_{B1}-v_{A1}}=\frac{L}{ev_{0}}$，根据动量守恒定律有$m_{A}v_{0}=m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}$，且$e=\frac{v_{B1}-v_{A1}}{v_{0}}$，解得$v_{B1}=\frac{m_{A}(1 +e)}{m_{A}+m_{B}}v_{0}$，$v_{A1}=\frac{m_{A}-em_{B}}{m_{A}+m_{B}}v_{0}$，则该段时间内$B$运动的路程为$s_{1}=v_{B1}t_{1}=\frac{m_{A}(1 +e)}{(m_{A}+m_{B})e}L$。$B$追上$A$后两球发生第$2$次碰撞，碰后瞬间两球相对速度大小为$e^{2}v_{0}$，$A$比$B$多运动一圈后发生第$3$次碰撞，设第$2、3$次碰撞的时间间隔为$t_{2}$，则$t_{2}=\frac{L}{e^{2}v_{0}}$，根据动量守恒定律有$m_{A}v_{0}=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}$，且$e=\frac{v_{B2}-v_{A2}}{e^{2}v_{0}}$，解得$v_{B2}=\frac{m_{A}(1 -e^{2})}{m_{A}+m_{B}}v_{0}$，$v_{A2}=\frac{m_{A}+e^{2}m_{B}}{m_{A}+m_{B}}v_{0}$，则该段时间内$B$运动的路程为$s_{2}=v_{B2}t_{2}=\frac{m_{A}(1 -e^{2})}{(m_{A}+m_{B})e^{2}}L$。$A$追上$B$后两球发生第$3$次碰撞，碰后瞬间两球相对速度大小为$e^{3}v_{0}$，$B$比$A$多运动一圈后发生第$4$次碰撞，设第$3、4$次碰撞的时间间隔为$t_{3}$，则$t_{3}=\frac{L}{e^{3}v_{0}}$，根据动量守恒定律有$m_{A}v_{0}=m_{A}v_{A3}+m_{B}v_{B3}$，且$e=\frac{v_{B3}-v_{A3}}{e^{3}v_{0}}$，解得$v_{B3}=\frac{m_{A}(1 +e^{3})}{m_{A}+m_{B}}v_{0}$，$v_{A3}=\frac{m_{A}-e^{3}m_{B}}{m_{A}+m_{B}}v_{0}$，则该段时间内$B$运动的路程为$s_{3}=v_{B3}t_{3}=\frac{m_{A}(1 +e^{3})}{(m_{A}+m_{B})e^{3}}L$。以此类推，$A、B$第$2n$次碰撞后瞬间，两球相对速度大小为$e^{2n}v_{0}$，碰后$A$比$B$多运动一圈后发生第$2n +1$次碰撞，该时间内$B$运动的路程为$s_{2n}=\frac{m_{A}(1 -e^{2n})}{(m_{A}+m_{B})e^{2n}}L$。综上所述，从第$1$次碰撞到第$2n +1$次碰撞的过程中，$B$通过的路程$s =s_{1}+s_{2}+s_{3}+·s +s_{2n}=\frac{m_{A}L}{(m_{A}+m_{B})e}(\frac{1}{1}+\frac{1}{e^{2}}+\frac{1}{e^{4}}+·s+\frac{1}{e^{2n}})=\frac{2\pi m_{A}R(e^{2n}-1)}{(m_{A}+m_{B})e^{2n}(e -1)}$。