《2026年新高考5年真题高中物理全一册通用版湖南专版》

14. (14分)如图，直流电源的电动势为$E_0$，内阻为$r_0$，滑动变阻器$R$的最大阻值为$2r_0$，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为$d$，板长为$\sqrt{3}d$，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关$S$，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为$m$的带正电粒子以初速度$v_0$水平向右从电容器左侧中点$a$进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘$b$点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘$c$点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。
(1) 求粒子所带电荷量$q$。
(2) 求磁感应强度$B$的大小。
(3) 若粒子离开$b$点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为$\frac{4\sqrt{3}E_0}{3d}$，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离$x_m$。

答案：
14.参考答案
(1)$\frac{mv_0^2}{E_0}$
(2)$\frac{2E_0}{dv_0}$
(3)$\frac{2+\sqrt{3}}{2}d$
命题意图本题考查带电粒子在电场、磁场和电磁叠加场中的运动，考查考生的推理能力和分析综合能力。
解题思路
(1)闭合开关$S$，当滑片处于滑动变阻器中点时，由串、并联电路规律可得电容器两极板间的电压为$U=\frac{\frac{R_m}{2}}{\frac{R_m}{2}+r_0}E_0=\frac{1}{3}E_0$，粒子从$a$点进入电容器后，在电容器中受到电场力的作用，做类平抛运动，从$b$点离开电容器，设粒子从$a$点运动到$b$点的时间为$t$，则在水平方向，由运动学公式有$\sqrt{3}d = v_0t$，在竖直方向，由牛顿第二定律有$q\frac{U}{d}=ma$，在竖直方向，由运动学公式有$\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}at^2$，联立解得$q=\frac{mv_0^2}{E_0}$。
(2)设粒子经过$b$点时的速度大小为$v$，速度方向与水平方向间的夹角为$\theta$，则由平抛运动的推论可知$\tan\theta = 2\tan\alpha = 2×\frac{\frac{d}{2}}{\sqrt{3}d}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\theta = 30^{\circ}$。由几何关系可知$v=\frac{v_0}{\cos\theta}=\frac{2\sqrt{3}v_0}{3}$。粒子进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动，从$c$点进入电容器，设粒子在磁场中运动的轨迹半径为$r$，作出粒子从$a$点运动到$c$点的运动轨迹，如图甲所示。

由几何关系可知$r=\frac{\frac{d}{2}}{\sin60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}d$，在磁场中，由洛伦兹力提供向心力有$qvB=m\frac{v^2}{r}$，联立解得$B=\frac{2E_0}{dv_0}$。
(3)在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，则粒子在平行板电容器右侧不仅受到洛伦兹力的作用，还受到水平向右的电场力的作用，则可将粒子在$b$点的速度进行分解，如图乙所示，使竖直向上的分速度$v_1$产生的洛伦兹力刚好与电场力平衡，则有$qv_1B = qE$，

解得$v_1=\frac{E}{B}=\frac{2\sqrt{3}}{3}v_0=v_0$。根据速度分解的规则可得另一分速度$v_2 = 2v\cos30^{\circ}=2v_0$，方向与竖直方向间的夹角为$30^{\circ}$。则粒子在平行板电容器右侧的运动可分解为竖直向上速度为$v_1$的匀速直线运动和速率为$v_2$的匀速圆周运动。设粒子以速率$v_2$做匀速圆周运动的轨迹半径为$r'$，则由洛伦兹力提供向心力有$qv_2B=m\frac{v_2^2}{r'}$，解得$r' = d$，作出粒子以速率$v_2$做匀速圆周运动的轨迹，如图丙所示。

由几何关系可得$x_m=r'\sin60^{\circ}+r'=\frac{2+\sqrt{3}}{2}d$。