《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(1)(2025·湖南郴州三模)已知椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $ 的左、右焦点分别为 $ F_{1} $，$ F_{2} $，点 $ P $ 在椭圆 $ C $ 上，若 $ |PF_{1}|+|PF_{2}|=4 $，椭圆 $ C $ 的离心率为 $ \dfrac{1}{2} $，则椭圆 $ C $ 的焦距为(B)

A.1
B.2
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 2\sqrt{3} $

答案：
(1)B 依题意$\frac{c}{a} = \frac{1}{2}$，解得$a = 2$，$c = 1$，
所以焦距$2c = 2$。故选 B。

(2)(2025·重庆三模)双曲线 $ \dfrac{x^{2}}{8}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(b＞0) $ 的左、右焦点分别是 $ F_{1} $，$ F_{2} $，过 $ F_{2} $ 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为 $ M $，若 $ \triangle F_{1}MF_{2} $ 的面积为 16，则双曲线的离心率为(A)

A.$ \sqrt{5} $
B.$ \sqrt{2} $
C.2
D.$ \sqrt{3} $

答案：
(2)A 取渐近线方程为$y = \frac{b}{a}x$，由题意可得$F_{2}(c,0)$，所以垂线方程为$y = -\frac{a}{b}(x - c)$，联立两方程解得$x = \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}$，$y = \frac{abc}{a^{2}+b^{2}}$，即$M$的坐标，因为$\triangle F_{1}MF_{2}$的面积为$16$，所以$\frac{1}{2}×2c×\frac{abc}{a^{2}+b^{2}} = 16$，又$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$2\sqrt{2}b = 16\Rightarrow b = 4\sqrt{2}$，$c^{2}=40$，所以离心率$e = \frac{c}{a} = \sqrt{5}$。故选 A。

(1)(2025·四川攀枝花三模)已知椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $ 的上顶点为 $ A $，左、右焦点分别为 $ F_{1} $，$ F_{2} $，连接 $ AF_{2} $ 并延长交椭圆 $ C $ 于另一点 $ B $，若 $ |F_{1}B|:|AB|=4:5 $，则椭圆 $ C $ 的离心率为(B)

A.$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
B.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ \dfrac{\sqrt{7}}{7} $
D.$ \dfrac{1}{3} $

答案：

(1)B 由图可知$|AF_{2}| = a$，
$|BF_{1}| + |BF_{2}| = 2a$，
根据$|F_{1}B|:|AB| = 4:5$，可设$|F_{1}B| = 4m$，$|AB| = 5m$，

则$4m + 5m - a = 2a\Rightarrow m = \frac{a}{3}$，所以$|F_{1}B| = \frac{4a}{3}$，$|AB| = \frac{5a}{3}$，$|F_{2}B| = \frac{2a}{3}$，
由三角形$BF_{1}F_{2}$中余弦定理得：$\frac{16a^{2}}{9}=4c^{2}+\frac{4a^{2}}{9}-2×2c×\frac{2a}{3}\cos\angle F_{1}F_{2}B$，
根据直角三角形$AOF_{2}$有：$\cos\angle F_{1}F_{2}B = -\cos\angle AF_{2}O = -\frac{c}{a}$，
代入上式可得：$\frac{16a^{2}}{9}=4c^{2}+\frac{4a^{2}}{9}+2×2c×\frac{2a}{3}×\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{4a^{2}}{3}=\frac{20c^{2}}{3}\Rightarrow\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{5}\Rightarrow e = \frac{\sqrt{5}}{5}$。故选 B。

(2)(多选)(2025·江苏苏州三模)某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，反比例函数 $ y=\dfrac{1}{x} $ 的图象是双曲线 $ C $，记其焦点分别为 $ M $、$ N $，若 $ P $ 为其图象上任意一点，则(ACD)

A.$ y $ 轴是 $ C $ 的一条渐近线
B.点 $ (1,1) $ 是 $ C $ 的一个焦点
C.$ ||PM|-|PN||=2\sqrt{2} $
D.$ C $ 的离心率为 $ \sqrt{2} $

答案：
(2)ACD 反比例函数$y = \frac{1}{x}$的两条渐近线为$x$轴和$y$轴，A 对；
反比例函数$y = \frac{1}{x}$的两条渐近线垂直，故双曲线$C$为等轴双曲线，
因此，双曲线$C$的离心率为$\sqrt{2}$，D 对；
反比例函数$y = \frac{1}{x}$的图象分布在第一、三象限，且第一、三象限的角平分线方程为$y = x$，
联立$\begin{cases}y = \frac{1}{x}\\y = x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，或$\begin{cases}x = -1\\y = -1\end{cases}$，
所以，双曲线$C$的一个顶点为$(1,1)$，B 错；
双曲线$C$的实半轴长为$a = \sqrt{(0 - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}} = \sqrt{2}$，
故$||PM| - |PN|| = 2a = 2\sqrt{2}$，C 对。故选 ACD。

(1)(2025·北京海淀三模)点 $ M(5,3) $ 到抛物线 $ y = ax^{2}(a\neq0) $ 的准线的距离为 6，那么该抛物线的标准方程是(D)

A.$ x^{2}=12y $
B.$ x^{2}=\dfrac{1}{12}y $ 或 $ x^{2}=-\dfrac{1}{36}y $
C.$ x^{2}=-\dfrac{1}{36}y $
D.$ x^{2}=12y $ 或 $ x^{2}=-36y $

答案：
(1)D 将$y = ax^{2}$转化为$x^{2}=\frac{1}{a}y$，
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上，准线方程$y = -\frac{1}{4a}$，
点$M(5,3)$到准线的距离为$3+\frac{1}{4a}=6$，解得$a = \frac{1}{12}$，
所以抛物线方程为$y = \frac{1}{12}x^{2}$，即$x^{2}=12y$；
当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，准线方程$y = -\frac{1}{4a}$，
点$M(5,3)$到准线的距离为$|3+\frac{1}{4a}| = 6$，解得$a = -\frac{1}{36}$或$a = \frac{1}{12}$(舍去)，
所以抛物线方程为$y = -\frac{1}{36}x^{2}$，即$x^{2}=-36y$。
所以抛物线的方程为$x^{2}=12y$或$x^{2}=-36y$。故选 D。

(2)(多选)(2025·甘肃白银三模)已知 $ P(a,b) $，$ Q(c,1) $ 为抛物线 $ C:x^{2}=2py(p＞0) $ 上两点，$ C $ 的焦点为 $ F $，且 $ |QF|=3 $，$ A(2,1) $，则下列结论正确的是(CD)

A.$ C $ 的准线为 $ l:x=-2 $
B.当 $ a = 4 $ 时，$ |PF| $ 的值为 5
C.$ |PA|+|PF| $ 的最小值为 3
D.$ |PA|-|PF| $ 的最大值为 $ \sqrt{5} $

答案：

(2)CD 因为$Q(c,1)$，$|QF| = 3$，$F(0,\frac{p}{2})$，准线方程为$y = -\frac{p}{2}$，
所以由抛物线的定义可得$1+\frac{1}{2}p = 3\Rightarrow p = 4$，
$C$的准线为$y = -2$，故选项 A 错误；
当$a = 4$时，$b = 2$，$|PF|$的值为$b+\frac{1}{2}p = 2 + 2 = 4$，故选项 B 错误；
如图，过点$P$作$PB\perp$准线于点$B$，则由抛物线定义可知：$|PF| = |PB|$，则$|PA| + |PF| = |PA| + |PB|$，当$A$、$P$、$B$三点共线时，和最小，最小值为$1 + 2 = 3$，C 正确；

由题意得：$F(0,2)$，连接$AF$并延长，交抛物线于点$P$，此点即为$|PA| - |PF|$取最大值的点，此时$|PA| - |PF| = |AF| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$，其他位置的点$P'$，由三角形两边之差小于第三边得：$|P'A| - |P'F| ＜ |AF| = \sqrt{5}$，故$|PA| - |PF|$的最大值为$\sqrt{5}$，D 正确。故选 CD。

(1)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图 1 所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形。图 2 是“东方之门”的示意图，已知 $ |CD|=30\ m $，$ |AB|=60\ m $，点 $ D $ 到直线 $ AB $ 的距离为 $ 150\ m $，则此抛物线顶端 $ O $ 到 $ AB $ 的距离为(B)

A.$ 180\ m $
B.$ 200\ m $
C.$ 220\ m $
D.$ 240\ m $

答案：

(1)B 以$O$为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为$x^{2}=-2py(p ＞ 0)$，由题意设$D(15,h)$，$h ＜ 0$，$B(30,h - 150)$，
则$\begin{cases}15^{2}=-2ph\\30^{2}=-2p(h - 150)\end{cases}$，

解得$\begin{cases}h = -50\\p = 2.25\end{cases}$，
所以此抛物线顶端$O$到$AB$的距离为$50 + 150 = 200(m)$。

(2)焦点为 $ F $ 的抛物线 $ y^{2}=2px(p＞0) $ 上有一点 $ P(2,2p) $，$ O $ 为坐标原点，则满足 $ |MP|=|MO|=|MF| $ 的点 $ M $ 的坐标为(B)

A.$ \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right) $
B.$ \left(\dfrac{1}{4},\dfrac{7}{4}\right) $
C.$ \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2}\right) $
D.$ \left(\dfrac{1}{4},\dfrac{9}{4}\right) $

答案：
(2)B 将点$P$的坐标代入抛物线中得$(2p)^{2}=2p×2$，解得$p = 1$，则$P(2,2)$，所以$OP$的斜率为$1$，且$OP$的中点为$(1,1)$，
则$OP$的垂直平分线方程为$y - 1 = -(x - 1)$，
即$x + y - 2 = 0$，
又$OF$的垂直平分线方程为$x = \frac{1}{4}$，
$|MP| = |MO| = |MF|$，则点$M$为$OP$的垂直平分线和$OF$的垂直平分线的交点，
所以点$M$的坐标为$(\frac{1}{4},\frac{7}{4})$。