《2026年学易优高考二轮总复习数学》

训练3 (2025·济南质检)人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患.为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查了 100 人，所得结果统计如图表所示：

(1)完成下列 $2 × 2$ 列联表，并依据小概率值 $\alpha = 0.010$的独立性检验，判断对人工智能所持态度是否与年龄有关；

(2)以频率估计概率，若在该地区所在年龄在 50 岁以上(含 50 岁)的人中随机抽取 3 人，记 $X$ 为 3 人中持支持态度的人数，求 $X$ 的分布列以及数学期望.
附:$\chi ^{2} = \frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)},n = a + b + c + d$.

答案：
训练3 解：
(1)由题可得如下$2×2$列联表

零假设为$H_0$：对人工智能所持态度与年龄无关．
$\chi^2=\frac{100×(25×10 - 45×20)^2}{70×30×45×55}\approx8.129$，
因为$8.129＞6.635$，
所以依据小概率值$\alpha = 0.010$的独立性检验，有充分证据推断$H_0$不成立，即对人工智能所持态度与年龄有关．
(2)依题意可知，年龄在50岁以上（含50岁）的人中对人工智能持支持态度的频率为$\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$．
由题意可得$X\sim B(3,\frac{5}{9})$，则$X$的所有可能取值为0，1，2，3．
又$P(X = 0)=C_{3}^{0}×(\frac{4}{9})^3=\frac{64}{729}$，
$P(X = 1)=C_{3}^{1}×\frac{5}{9}×(\frac{4}{9})^2=\frac{80}{243}$，
$P(X = 2)=C_{3}^{2}×(\frac{5}{9})^2×\frac{4}{9}=\frac{100}{243}$，
$P(X = 3)=C_{3}^{3}×(\frac{5}{9})^3=\frac{125}{729}$，
所以$X$的分布列为

所以$X$的数学期望$E(X)=0×\frac{64}{729}+1×\frac{80}{243}+2×\frac{100}{243}+3×\frac{125}{729}=\frac{5}{3}$．