《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(2025·广东名校联考)某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少。已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 $ 2.25 \, g/m^3 $，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 $ 2.21 \, g/m^3 $，第 $ n $ 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 $ r_n $ 满足函数模型 $ r_n = r_0 + (r_1 - r_0) · 3^{0.25n + t} $ ($ t \in \mathbf{R} $，$ n \in \mathbf{N}^* $)，其中 $ r_0 $ 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，$ r_1 $ 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，$ n $ 为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过 $ 0.25 \, g/m^3 $ 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要(参考数据：$ \lg 2 \approx 0.30 $，$ \lg 3 \approx 0.48 $) (B)

A.$ 15 $ 次
B.$ 16 $ 次
C.$ 17 $ 次
D.$ 18 $ 次

答案： B　由题意知$r_{0} = 2.25\ \mathrm{g/m^{3}}$，$r_{1} = 2.21\ \mathrm{g/m^{3}}$，当$n = 1$时，$r_{1} = r_{0} + (r_{1} - r_{0}) × 3^{0.25 + t}$，故$3^{0.25 + t} = 1$，$t = -0.25$，故$r_{n} = 2.25 - 0.04 × 3^{0.25(n - 1)}$，由$r_{n} \leqslant 0.25$得$3^{0.25(n - 1)} \geqslant 50$，即$0.25(n - 1) \geqslant \log_{3}50 = \frac{\lg 50}{\lg 3}$，则$n \geqslant 4(2 - \lg 2) + 1 \approx 15.17$，而$n \in \mathbf{N}^{*}$，故$n \geqslant 16$，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要$16$次. 故选B.

1. (2020·山东高考)若定义在 $ \mathbf{R} $ 的奇函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, 0) $ 上单调递减，且 $ f(2) = 0 $，则满足 $ xf(x - 1) \geq 0 $ 的 $ x $ 的取值范围是(D)

A.$ [-1, 1] \cup [3, +\infty) $
B.$ [-3, -1] \cup [0, 1] $
C.$ [-1, 0] \cup [1, +\infty) $
D.$ [-1, 0] \cup [1, 3] $

答案： 1.D解法一　由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,且f(−2)=f
(2)=f
(0)=0.当x＞0时,令f(x−1)≥0,得0≤x−1≤2,
∴1≤x≤3;当x＜0时,令f(x−1)≤0,得−2≤x−1≤0,
∴−1≤x≤1,又x＜0,
∴−1≤x＜0;当x=0时，显然符合题意。综上，原不等式的解集为[−1,0]∪[1,3],故选D。
解法二　当x=3时,f(3−1)=0,符合题意,排除B;当x=4时，f(4−1)=f
(3)＜0,此时不符合题意，排除选项A、C,故选D。

2. (多选)(2022·新高考全国卷)已知函数 $ f(x) $ 及其导函数 $ f'(x) $ 的定义域均为 $ \mathbf{R} $，记 $ g(x) = f'(x) $。若 $ f(\frac{3}{2} - 2x) $，$ g(2 + x) $ 均为偶函数，则(BC)

A.$ f(0) = 0 $
B.$ g(-\frac{1}{2}) = 0 $
C.$ f(-1) = f(4) $
D.$ g(-1) = g(2) $

答案： 2.BC　因为f($\frac{3}{2}$−2x),g(2+x)均为偶函数,所以f($\frac{3}{2}$−2x)=f($\frac{3}{2}$+2x)，g(2+x)=g(2−x)。所以f(3−x)=f(x),g(4−x)=g(x)，则f(−1)=f
(4)，故C正确。
函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x=$\frac{3}{2}$,x=2对称。由f($\frac{3}{2}$−x)=f($\frac{3}{2}$+x)两边同时求导，得−f'($\frac{3}{2}$−x)=f'($\frac{3}{2}$+x)，即−g'($\frac{3}{2}$−x)=g'($\frac{3}{2}$+x)，所以g(x)的图象关于($\frac{3}{2}$,0)中心对称，得g(x)的一个周期为2。所以g(−$\frac{1}{2}$)=g($\frac{3}{2}$)=0，g(−1)=g
(1)=−g
(2)，故B正确，D错误。
若函数f(x)满足题设条件,则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误。故选BC。

3. (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，$ f(xy) = y^2f(x) + x^2f(y) $，则(ABC)

A.$ f(0) = 0 $
B.$ f(1) = 0 $
C.$ f(x) $ 是偶函数
D.$ x = 0 $ 为 $ f(x) $ 的极小值点

答案： 3.ABC　取x=y=0,则f
(0)=0,故A正确;取x=y=1,则f
(1)=f
(1)+f
(1),所以f
(1)=0,故B正确;取x=y=−1,则f
(1)=f(−1)+f(−1),所以f(−1)=0。取y=−1,则f(−x)=f(x)+x²f(−1),所以f(−x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数，故C正确。由于f
(0)=0,且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x=0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确。综上，选ABC。

4. (2022·全国乙卷，理)已知函数 $ f(x) $，$ g(x) $ 的定义域均为 $ \mathbf{R} $，且 $ f(x) + g(2 - x) = 5 $，$ g(x) - f(x - 4) = 7 $。若 $ y = g(x) $ 的图象关于直线 $ x = 2 $ 对称，$ g(2) = 4 $，则 $ \sum_{k = 1}^{22} f(k) = $(D)

A.$ -21 $
B.$ -22 $
C.$ -23 $
D.$ -24 $

答案： 4.D若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,则g(2−x)=g(2+x)。因为f(x)+g(2−x)=5,所以f(−x)+g(2+x)=5,故f(−x)=f(x),f(x)为偶函数。由g
(2)=4,f
(0)+g
(2)=5,得f
(0)=1。由g(x)−f(x−4)=7,得g(2−x)=f(−x−2)+7,代入f(x)+g(2−x)=5,得f(x)+f(−x−2)=−2,f(x)关于点(−1,−1)中心对称,所以f
(1)=f(−1)=−1。
由f(x)+f(−x−2)=−2,f(−x)=f(x),得f(x)+f(x+2)=−2,所以f(x+2)+f(x+4)=−2,故f(x+4)=f(x),f(x)周期为4。所以f
(4)=f
(0)=1,由f
(0)+f
(2)=−2,得f
(2)=−3,又f
(3)=f(−1)=f
(1)=−1,
所以$\sum_{k = 1}^{22} f(k)$=506×[f
(1)+f
(2)+f
(3)+f
(4)]+f
(1)=6f
(1)+6f
(2)+5f
(3)+5f
(4)=6×(−1)+6×(−3)+5×(−1)+5×1=−24。