《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(1)(多选)(2025·辽宁二模)给出以下四个判断，其中正确的是(ACD)

A.已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ (1,+\infty) $，则函数 $ F(x)=f(2^{x}-3)+\sqrt{3 - x} $ 的定义域为 $ (2,3] $
B.函数 $ f(x)=x^{2} $ 的定义域 $ A \subseteq \mathbf{R} $，值域 $ B = \{4\} $，则满足条件的 $ f(x) $ 有 $ 2 $ 个
C.若函数 $ f(\lg x)=x $，则 $ f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{10} $
D.函数 $ y=\frac{x - 2}{x + 1} $ 的值域为 $ \{y|y \neq 1\} $

答案：
(1)ACD　由题可知，$\begin{cases}2^x - 3 ＞ 1 \\ 3 - x \geq 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x ＞ 2 \\ x \leq 3\end{cases} \Rightarrow 2 ＜ x \leq 3$，故函数F(x)的定义域为(2,3]，故A正确；令
f(x)=x² = 4，可得x = ±2，故定义域A可以为{−2}，{2}，{−2,2}，共3个，即满足条件的f(x)有3个，故B错误；令lgx = $\frac{1}{2}$，得x = $\sqrt{10}$，所以f($\frac{1}{2}$)=$\sqrt{10}$，故C正确；y = $\frac{x + 1 - 3}{x + 1}$=1 - $\frac{3}{x + 1}$，因为$\frac{3}{x + 1}$≠0，所以y≠1，所以值域为{y|y≠1}，故D正确.

(2)已知函数 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}x + 1,x \geqslant 0, \\ -2x - 1,x ＜ 0,\end{array}\right. $ 若 $ a[f(a)-f(-a)] ＞ 0 $，则实数 $ a $ 的取值范围是(D)

A.$ (2,+\infty) $
B.$ [-2,0) \cup (0,2] $
C.$ (-\infty,-2] \cup [2,+\infty) $
D.$ (-2,0) \cup (0,2) $

答案：
(2)D　由a[f(a) - f(−a)]＞0，
若a＞0，则f(a) - f(−a)＞0，
即a + 1 - [−2 × (−a) - 1]＞0，解得a＜2，
所以0＜a＜2.
若a＜0，则f(a) - f(−a)＜0，
即−2a - 1 - (−a + 1)＜0，解得a＞−2，
所以−2＜a＜0，
综上，a的取值范围为(−2,0)∪(0,2).

(1)(2025·湖南三模)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，且 $ f(x + 2)=f(x) $，当 $ x \in [0,1) $ 时，$ f(x)=2^{x}-1 $，则 $ f\left(\log _{2} \frac{1}{3}\right) $ 的值为$\frac{1}{3}$ 。

答案：
(1)$\frac{1}{3}$　因为f(x + 2)=f(x)，
所以f(log₂$\frac{1}{3}$)=f(−log₂3)=f(2 - log₂3)
=f(log₂$\frac{4}{3}$)，
又0＜log₂$\frac{4}{3}$＜1，所以f(log₂$\frac{1}{3}$)=f(log₂$\frac{4}{3}$)=2^log₂$\frac{4}{3}$ - 1=$\frac{4}{3}$ - 1=$\frac{1}{3}$.
故答案为$\frac{1}{3}$.

(2)19 世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” $ D(x)=\left\{\begin{array}{l}1,x \in \mathbf{Q}, \\ 0,x \in \complement_{\mathbf{R}} \mathbf{Q},\end{array}\right. $ 它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数 $ f(x)=x^{2}-D(x) $，则下列实数不属于函数 $ f(x) $ 值域的是(C)

A.$ 3 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ 0 $

答案：
(2)C　由题意可知
f(x)=x² - D(x)=$\begin{cases}x^2 - 1, x \in \mathbf{Q} \\ x^2, x \in \complement_{\mathbf{R}} \mathbf{Q}\end{cases}$
所以f
(1)=1² - 1 = 0，f($\sqrt{2}$)=($\sqrt{2}$)² = 2，
f($\sqrt{3}$)=($\sqrt{3}$)² = 3，而f(x)=1无解.

(2025·山西临汾三模)已知 $ f(x)=\log _{2}(1 + 4^{-x})+x $，则满足 $ f(2m - 3) ＜ f(m) $ 的实数 $ m $ 的取值范围为(A)

A.$ (1,3) $
B.$ \left(\frac{3}{2},3\right) $
C.$ (-\infty,3) $
D.$ (3,+\infty) $

答案： 例2]　A　由f(x)=log₂(1 + 4−x)+x，易知其定义域为$\mathbf{R}$，由f(−x) - f(x)=log₂(1 + 4^x) - x - log₂(1 + 4−x) - x=log₂$\frac{1 + 4^x}{1 + 4^{-x}}$ - 2x=log₂4^x - 2x = 2x - 2x = 0，则函数f(x)为偶函数，f(x)=log₂(1 + 4−x)+x=log₂(1 + 2−2x)+log₂2^x=log₂(2^x + 2−x)，由y = 2^x在$\mathbf{R}$上单调递增，y = x + $\frac{1}{x}$在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则y = 2^x + $\frac{1}{2^x}$在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，由f(2m - 3)＜f(m)，则|2m - 3|＜|m|，即(2m - 3)²＜m²，整理可得3m² - 12m + 9＜0，分解因式可得(m - 3)(m - 1)＜0，解得1＜m＜3.故选A.