《2026年学易优高考二轮总复习数学》

已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{n}＞0$，且满足$(a_{n}+2)^{2}=4S_{n}+4n + 1$，$n\in \mathbf{N}^{*}$。
(1)求$a_{1}$及通项公式$a_{n}$；
(2)若$b_{n}=(-1)^{n}a_{n}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$。

答案：
(1)对于$(a_n + 2)^2 = 4S_n + 4n + 1$，①
$n = 1$时，$(a_1 + 2)^2 = 4a_1 + 5$，$a_1^2 = 1$，
而$a_n ＞ 0$，则$a_1 = 1$。
又$(a_{n + 1} + 2)^2 = 4S_{n + 1} + 4(n + 1) + 1$，②
由② - ①可得
$(a_{n + 1} + 2)^2 - (a_n + 2)^2 = 4a_{n + 1} + 4$，
$a_{n + 1}^2 = (a_n + 2)^2$，而$a_n ＞ 0$，
$\therefore a_{n + 1} = a_n + 2$，即$a_{n + 1} - a_n = 2$。
$\therefore \{a_n\}$是以1为首项，2为公差的等差数列，
即$a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1(n \in N^*)$。
(2)$\because b_n = (-1)^n · (2n - 1)$，
$\therefore T_n = -1 + 3 - 5 + 7 + ·s + (-1)^n(2n - 1)$，
当$n$为偶数时，$T_n = 2 + 2 + ·s + 2 = n$；
$\frac{n}{2}个$
当$n$为奇数时，$T_n = 2 + 2 + ·s + 2 - (2n - 1) = -n$。
$\frac{n - 1}{2}个$
综上所述，$T_n = (-1)^n · n(n \in N^*)$。

(2025·茂名模拟)已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{5}=S_{4}+S_{3}$，$2a_{3n}-3a_{2n}=1$，$n\in \mathbf{N}^{*}$。
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)求数列$\{\frac {a_{n + 1}}{S_{n}S_{n + 1}}\}$的前$n$项和$T_{n}$。

答案：
(1)数列$\{a_n\}$是等差数列，记其公差为$d$，
由题意知$\begin{cases}5a_1 + \frac{5 × 4}{2}d = 4a_1 + \frac{4 × 3}{2}d + 3a_1 + \frac{3 × 2}{2}d,\\2[a_1 + (3n - 1)d] - 3[a_1 + (2n - 1)d] = 1\end{cases}$
整理得$\begin{cases}2a_1 = d,\\-a_1 + d = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_1 = 1,\\d = 2.\end{cases}$
$\therefore$数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 1 + (n - 1) · 2 = 2n - 1$。
(2)$\because \frac{a_{n + 1}}{S_nS_{n + 1}} = \frac{S_{n + 1} - S_n}{S_nS_{n + 1}} = \frac{1}{S_n} - \frac{1}{S_{n + 1}}$，
$\therefore T_n = (\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_2}) + (\frac{1}{S_2} - \frac{1}{S_3}) + ·s + (\frac{1}{S_n} - \frac{1}{S_{n + 1}}) = \frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_{n + 1}}$，
$\because S_n = \frac{(1 + 2n - 1)n}{2} = n^2$，
$\therefore T_n = 1 - \frac{1}{(n + 1)^2}$。

(2025·西安二模)已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{6}=7$，$S_{6}=27$。
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)设$b_{n}=\frac {1}{a_{n}· a_{n + 1}}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$。

答案：
(1)设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，
则由题意得$\begin{cases}a_1 + 5d = 7,\\6a_1 + \frac{6 × 5}{2}d = 27,\end{cases}$
即$\begin{cases}a_1 + 5d = 7,\\2a_1 + 5d = 9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = 2,\\d = 1.\end{cases}$
$\therefore$数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2 + (n - 1) × 1 = n + 1$。
(2)$\because a_n = n + 1$，则$a_{n + 1} = n + 2$，
$\therefore b_n = \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}$，
$\therefore T_n = b_1 + b_2 + b_3 + ·s + b_n = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + ·s + (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 2} = \frac{n}{2(n + 2)}$。