《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(1)在三棱锥$A - BCD$中，$AB\perp$平面$BCD$，$BC\perp CD$，且$AB = CD = 4$，$BC = 3$，则该三棱锥内切球的体积为(A)

A.$\frac{9\pi}{16}$
B.$\frac{9\pi}{4}$
C.$\frac{16\pi}{9}$
D.$\frac{4\pi}{3}$

答案：

(1)A　由$AB\perp$平面$BCD$，$CD\subset$平面$BCD$，得$AB\perp CD$。又$BC\perp CD$，且$AB$，$BC\subset$平面$ABC$，$AB\cap BC = B$，所以$CD\perp$平面$ABC$，又$AC\subset$平面$ABC$，所以$CD\perp AC$。由$AB = CD = 4$，$BC = 3$，得$AC = BD = 5$，所以三棱锥$A - BCD$的表面积$S = 2×\frac{1}{2}×3×4 + 2×\frac{1}{2}×4×5 = 32$，三棱锥$A - BCD$的体积$V = \frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×4 = 8$。设三棱锥内切球球心为$O$，半径为$r$，由$V = V_{O - ABC} + V_{O - ABD} + V_{O - ACD} + V_{O - BCD}=\frac{1}{3}Sr$，得$r = \frac{3V}{S}=\frac{3}{4}$，所以该三棱锥内切球的体积$V_{球}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi×(\frac{3}{4})^3=\frac{9\pi}{16}$。
　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)(2025·云南三模)正三棱台$ABC - A_1B_1C_1$的上、下底边长分别为$6$，$18$，该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切)，则正三棱台的表面积为(D)

A.$144\sqrt{3}$
B.$153\sqrt{3}$
C.$225\sqrt{3}$
D.$234\sqrt{3}$

答案：

(2)D　由题意知，正三棱台$ABC - A_1B_1C_1$的上、下底边长分别为6和18，可得上下底正三角形的高分别为$\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{18^2 - 9^2}=9\sqrt{3}$。由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心，故如图甲所示，作截面，得到图乙，设内切球半径为$r$，则$2r = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}$，解得$r = 3$，所以正三棱台的高为6，所以$S_{表面积}=3×(6 + 18)×4\sqrt{3}÷2+\frac{\sqrt{3}}{4}×6^2+\frac{\sqrt{3}}{4}×18^2 = 234\sqrt{3}$。故选D。
　

1. (2024·全国甲卷)设α、β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β=m。下列四个命题：
①若m//n，则n//α或n//β
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
③若n//α且n//β，则m//n
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是(A)

A.①③
B.②④
C.①②③
D.①③④

答案： 1.A $\alpha \cap \beta=m$，则$m \subset \alpha$，$m \subset \beta$，对于①，若$m // n$，则$n // \alpha$或$n \subset \beta$，①正确；对于②，若$m \perp n$，则可能$n // \alpha$或$n$与$\alpha$相交，②错误；对于③，若$n // \alpha$且$n // \beta$，则$n // m$，③正确；对于④，$n$与$m$所成角可以为$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$内的任意角，④错误。故选A。

2. (2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(C)

A.若m//α，n⊂α，则m//n
B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C.若m//α，m⊥β，则α⊥β
D.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β

答案： 2.C　空间中线面位置关系　A错误，若$m // \alpha$，$n \subset \alpha$，则$m // n$或$m$，$n$异面；B错误，若$m \perp \alpha$，$m \perp \beta$，则$\alpha // \beta$；C正确，若$m // \alpha$，$m \perp \beta$，则$\alpha \perp \beta$；D错误，若$m \subset \alpha$，$\alpha \perp \beta$，则$m // \beta$或$m$与$\beta$相交或$m \subset \beta$。

3. (多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为BC的中点，则(BD)

A.AD⊥A₁C
B.B₁C₁⊥平面AA₁D
C.AD//A₁B₁
D.CC₁//平面AA₁D

答案： 3.BD　空间中线线、线面位置关系的判断
A错误，由三棱柱的性质可知，$AA_1 \perp$平面$ABC$，则$AA_1 \perp AD$，假设$AD \perp A_1C$，又$AA_1 \cap A_1C = A_1$，$AA_1$，$A_1C \subset$平面$AA_1C_1C$，所以$AD \perp$平面$AA_1C_1C$，矛盾，所以$AD$与$A_1C$不垂直；B正确，因为三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$是正三棱柱，所以$AA_1 \perp$平面$ABC$，则$AA_1 \perp BC$，因为$D$为$BC$的中点，$AC = AB$，所以$AD \perp BC$，又$AD \cap AA_1 = A$，$AD$，$AA_1 \subset$平面$AA_1D$，所以$BC \perp$平面$AA_1D$，又$BC // B_1C_1$，所以$B_1C_1 \perp$平面$AA_1D$；C错误，$AB // A_1B_1$，$AD$与$AB$相交，所以$AD$与$A_1B_1$异面；D正确，$CC_1 // AA_1$，$CC_1 \not\subset$平面$AA_1D$，$AA_1 \subset$平面$AA_1D$，所以$CC_1 //$平面$AA_1D$。故选BD。

4. (2024·天津卷)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(C)

A.若m//α，n//α，则m⊥n
B.若m//α，n//α，则m//n
C.若m//α，n⊥α，则m⊥n
D.若m//α，n⊥α，则m与n相交

答案： 4.C　对于A，B，若$m // \alpha$，$n // \alpha$，则$m$与$n$可能平行、相交或异面，故A，B错误；对于C，D，若$m // \alpha$，$n \perp \alpha$，则$m \perp n$，且$m$与$n$可能相交，也可能异面，故C正确，D错误。

(1)(2025·甘肃白银二模)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是(D)

A.若m⊥α，m//n，α⊥β，则n⊥β
B.若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
C.若m⊥α，n⊥m，则n//α
D.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β或α与β相交

答案：
(1)D　若$m \perp \alpha$，$m // n$，则$n \perp \alpha$，又$\alpha \perp \beta$，则$n // \beta$或$n \subset \beta$，故A错误；由$m \subset \alpha$，$n \subset \beta$，$m \perp n$，可知$\alpha$、$\beta$可能平行或相交，故B错误；若$m \perp \alpha$，$n \perp m$，则有可能是$n // \alpha$，也可能$n \subset \alpha$，故C错误；由$m \subset \alpha$，$n \subset \alpha$，$m // \beta$，$n // \beta$，可知$\alpha$、$\beta$可能平行或相交，故D正确。故选D。