《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(2022·新高考Ⅰ卷)记$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$.
(1)若$C=\frac{2\pi}{3}$，求$B$；
(2)求$\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$的最小值.

答案：
(1)因为$\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$
$=\frac{2\sin B\cos B}{2\cos^{2} B}=\frac{\sin B}{\cos B}$，
即$\sin B=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
$=\cos(A+B)=-\cos C=\frac{1}{2}$，
而$0＜B＜\frac{\pi}{2}$，所以$B=\frac{\pi}{6}$.
(2)由
(1)知，$\sin B=-\cos C＞0$，
所以$\frac{\pi}{2}＜C＜\pi,0＜B＜\frac{\pi}{2}$，
而$\sin B=-\cos C=\sin(C-\frac{\pi}{2})$，
所以$C=\frac{\pi}{2}+B$，即有$A=\frac{\pi}{2}-2B$.
所以$\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{\sin^{2}A+\sin^{2}B}{\sin^{2}C}=\frac{\cos^{2}2B+1-\cos^{2}B}{\cos^{2}B}$
$=\frac{(2\cos^{2}B-1)^{2}+1-\cos^{2}B}{\cos^{2}B}$
$=4\cos^{2}B+\frac{2}{\cos^{2}B}-5\geqslant2\sqrt{8}-5=4\sqrt{2}-5$，
当且仅当$\cos^{2}B=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，所以$\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$的最小值为$4\sqrt{2}-5$.

例1(2025·山西三模)已知$f(x)=\sin x(\sin x+\sqrt{3}\cos x)$.
(1)求函数$f(x)$的最小正周期及单调递增区间；
(2)设$a\in[0,\pi]$，若函数$y = f(x)$和$y = f(x + a)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$有相同的最大值，求$a$的取值范围.

答案：
(1)$f(x)=\sin x(\sin x+\sqrt{3}\cos x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}$，
所以函数$f(x)$的最小正周期为$T=\frac{2\pi}{|\omega|}=\frac{2\pi}{2}=\pi$.
由$2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z$，
得$k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac{\pi}{3},k\in Z$，
所以$f(x)$的单调递增区间为$[k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}],k\in Z$.
(2)当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，得$-\frac{\pi}{6}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{5\pi}{6}$，
所以$y=f(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值为$\frac{3}{2}$，
则$y=f(x+a)=\sin(2x+2a-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值也是$\frac{3}{2}$.
由$2(x+a)-\frac{\pi}{6}=2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z$，得$a=k\pi+\frac{\pi}{3}-x$，$k\in Z$，
因为$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，所以$k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslant a\leqslant k\pi+\frac{\pi}{3}$，$k\in Z$，
又$a\in[0,\pi]$，所以$0\leqslant a\leqslant\frac{\pi}{3}$或$\frac{5\pi}{6}\leqslant a\leqslant\pi$.
综上，$a$的取值范围为$[0,\frac{\pi}{3}]\cup[\frac{5\pi}{6},\pi]$.