《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(2)(2025·西安模拟)将函数$f(x) = 2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$的图象向左平移$m(m＞0)$个单位长度，所得图象关于原点对称，则$m$的值可以是(D)

A.$\frac{\pi}{3}$
B.$\pi$
C.$\frac{4\pi}{3}$
D.$\frac{5\pi}{3}$

答案： 训练1
(2)D 将函数$f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})$的图象向左平移$m(m＞0)$个单位，得$y=2\sin(2x+2m-\frac{\pi}{3})$的图象，因为$y=2\sin(2x+2m-\frac{\pi}{3})$的图象关于原点对称，所以$2m-\frac{\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbf{Z}$，即$m=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，当$k=3$时，使$m=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}=\pi$，$m=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}=\pi$，$m=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}=\frac{4\pi}{3}$的整数$k$不存在.

(1)(2025·呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数$f(x) = A\cos(\omega x - \varphi)(A＞0,\omega＞0,\vert\varphi\vert＜\frac{\pi}{2})$的部分图象，将$y = f(x)$图象上所有点的横坐标伸长到原来的$\frac{3}{2}$倍，再将所得曲线向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度，得到函数$y = g(x)$的图象，则$g(x)$的解析式为(D)

A.$g(x) = 2\cos(\frac{9x}{2} - \frac{\pi}{8})$
B.$g(x) = 2\cos(2x - \frac{\pi}{8})$
C.$g(x) = 2\sin 2x$
D.$g(x) = 2\cos 2x$

答案： 【例2】
(1)D 由图象可知$A=2$，$\frac{\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}}{2}=\frac{5\pi}{12}$，则$f(x)$的一个最低点为$(\frac{5\pi}{12},-2)$，$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{3}$，则$\omega=\frac{2\pi}{T}=3$，$f(\frac{5\pi}{12})=2\cos(3×\frac{5\pi}{12}-\varphi)=-2$，即$\frac{5\pi}{4}-\varphi=\pi+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，所以$\varphi=\frac{\pi}{4}-2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，又因为$\vert\varphi\vert＜\frac{\pi}{2}$，
所以$\varphi=\frac{\pi}{4}$，所以$f(x)=2\cos(3x-\frac{\pi}{4})$，将$y=f(x)$图象上所有点的横坐标伸长到原来的$\frac{3}{2}$倍，得$y=2\cos(2x-\frac{\pi}{4})$的图象，再将所得函数图象向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度，得$y=2\cos[2(x+\frac{\pi}{8})-\frac{\pi}{4}]=2\cos2x$的图象，故$g(x)=2\cos2x$.

(2)已知$f(x) = 2\tan(\omega x + \varphi)(\omega＞0,\vert\varphi\vert＜\frac{\pi}{2})$，$f(0)=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最小正周期$T\in(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})$，$f(x)$图象的一个对称中心为点$(\frac{\pi}{6},0)$，则$f(\frac{\pi}{3})$的值为(D)

A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D.$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
易错提醒
在本例(2)中，根据正切函数图象的对称中心的有关结论，写出参数$\omega$满足的关系式，注意不要只认为$\frac{\pi}{6}\omega + \frac{\pi}{6} = k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，而是$\frac{\pi}{6}\omega + \frac{\pi}{6} = \frac{k\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$。

答案： 【例2】
(2)D 由$f(0)=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得$2\tan\varphi=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\tan\varphi=\frac{\sqrt{3}}{3}$，又
$\vert\varphi\vert＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{6}$.因为$f(x)$图象的一个对称中心为点$(\frac{\pi}{6},0)$，故$\frac{\pi}{6}\omega+\varphi=k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，得$\omega=3k_1-1,k_1\in\mathbf{Z}$.因为
$\mathrm{T}\in(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})$，所以$\frac{\pi}{4}＜\frac{\pi}{\omega}＜\frac{3\pi}{4}$，解得$\frac{4}{3}＜\omega＜4$，所以$\omega=2$.
故$f(x)$的解析式为$f(x)=2\tan(2x+\frac{\pi}{6})$，所以$f(\frac{\pi}{3})=2\tan(2×\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故选D.

(1)(2025·北京石景山模拟)已知函数$f(x) = 2\sin(\omega x + \varphi)(\omega＞0,\vert\varphi\vert＜\frac{\pi}{2})$的部分图象如图所示，则$f(-\pi)$的值是(A)


A.$\sqrt{3}$
B.$1$
C.$-1$
D.$-\sqrt{3}$

答案： 训练2
(1)A 由图象可知$\frac{\frac{\pi}{12}-(-\frac{5\pi}{12})}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{T}$，解得$\mathrm{T}=\pi$，
因为$\omega＞0$，所以$\omega=\frac{2\pi}{\mathrm{T}}$，解得$\omega=2$，将$(\frac{\pi}{12},2)$代入解析式
化简得$\sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)=1$，因为$\vert\varphi\vert＜\frac{\pi}{2}$，则$\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}$，得$\varphi=\frac{\pi}{3}$，故$f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，所以$f(-\pi)=2\sin(-2\pi+\frac{\pi}{3})=2\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$.

(2)(2025·兰州模拟)已知函数$f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)$(其中$A＞0$，$\omega＞0$，$\vert\varphi\vert＜\frac{\pi}{2}$)的最大值为$2$，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$，将$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度后得到$g(x)$的图象，若$g(x)$为偶函数，则$\varphi =$(C)

A.$-\frac{\pi}{6}$
B.$-\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{5\pi}{12}$

答案： 训练2
(2)C 由$f(x)$的最大值为2，得$A=2$，由$f(x)$图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$，得$\frac{2\pi}{\omega}=2×\frac{\pi}{2}$，解得$\omega=2$，
$\therefore f(x)=2\sin(2x+\varphi)$，$\therefore g(x)=f(x+\frac{\pi}{12})=2\sin[2(x+\frac{\pi}{12})+\varphi]=2\sin(2x+\frac{\pi}{6}+\varphi).\because g(x)$为偶函
数，$\therefore\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，解得$\varphi=\frac{\pi}{3}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，又
$\vert\varphi\vert＜\frac{\pi}{2}$，$\therefore\varphi=\frac{\pi}{3}$.故选C.

(1)(多选)(2025·浙江三模)已知函数$f(x) = A\sin(\omega x - \frac{\pi}{3})$(其中$A＞0$，$\omega＞0$)的最大值为$2$，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$，则下列说法正确的是(ABD)

A.$\omega = 2$
B.函数$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位后关于原点对称
C.函数$f(x)$的图象关于点$(\frac{\pi}{3},0)$对称
D.函数$f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{3}]$上单调递增

答案： 【例3】
(1)ABD 因为函数$f(x)$图象的相邻两条对称轴之
间的距离为$\frac{\pi}{2}$，所以该函数最小正周期为$T=2×\frac{\pi}{2}=\pi$，
故$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\pi}=2$，A正确；由函数$f(x)$的最大值为2可知
$A=2$，故$f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})$，函数$f(x)$的图象向左平
移$\frac{\pi}{6}$单位后，可得到函数$y=2\sin[2(x+\frac{\pi}{6})-\frac{\pi}{3}]=2\sin2x$的图象，该函数为奇函数，B正确；$f(\frac{\pi}{3})=2\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\neq0$，故函数$f(x)$的图象不关于点$(\frac{\pi}{3},0)$对称，C错误；
当$0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{3}$时，$-\frac{\pi}{3}\leqslant2x-\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{\pi}{3}$，故函数$f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{3}]$上单调递增，D正确.故选ABD.