《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(2025·山东青岛二模)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 $\boldsymbol{m} = (b - a, c)$，$\boldsymbol{n} = (a + c, b + a)$，$\boldsymbol{m} // \boldsymbol{n}$。
(1)求 B；
(2)若 b = 2√3，求 AC 边上的高的最大值。

答案： 解：
(1)因为$m//n$，所以$(b-a)(b+a)=c(a+c)$，即$a^{2}+c^{2}-b^{2}=-ac$， 由余弦定理得$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=-\frac{1}{2}$，因为$B \in (0,\pi)$， 所以$B=\frac{2\pi}{3}$。
(2)由
(1)得$-ac=a^{2}+c^{2}-12 \geqslant 2ac-12$，即$ac \leqslant 4$，当且 仅当$a=c=2$时，等号成立。 设AC边上的高为h，则 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\sqrt{3}h$， 所以$h=\frac{1}{4}ac \leqslant 1$， 所以AC边上的高的最大值为1。

(2025·南京调研)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 $\frac{a}{2c} = \sin A\tan\frac{C}{2}$。
(1)求 C；
(2)若 a = 8，b = 5，CH 是边 AB 上的高，且 $\overrightarrow{CH} = m\overrightarrow{CA} + n\overrightarrow{CB}$，求 $\frac{m}{n}$。

答案： 解：
(1)$\triangle ABC$中，$\frac{a}{2c}=\sin A\tan \frac{C}{2}$， 由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得$\frac{\sin A}{2\sin C}=\frac{\sin A \cdot \sin \frac{C}{2}}{\cos \frac{C}{2}}$， 由倍角公式得$\frac{\sin A}{4\sin \frac{C}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}=\frac{\sin A \cdot \sin \frac{C}{2}}{\cos \frac{C}{2}}$， 又因为A，C为$\triangle ABC$的内角， 所以$\sin A \neq 0$，$\cos \frac{C}{2} \neq 0$。 所以$\sin^{2} \frac{C}{2}=\frac{1}{4}$，$\sin \frac{C}{2}=\frac{1}{2}$， 则有$\frac{C}{2}=\frac{\pi}{6}$，得$C=\frac{\pi}{3}$。
(2)解法一 $a=8$，$b=5$，$C=\frac{\pi}{3}$，$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|$。 $\cos C=ab\cos C=5 \times 8 \times \cos \frac{\pi}{3}=20$， 所以$\overrightarrow{CA}^{2}=b^{2}=25$，$\overrightarrow{CB}^{2}=a^{2}=64$， 由题意知$CH \perp AB$，所以$\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB}=0$， 即$(m\overrightarrow{CA}+n\overrightarrow{CB}) \cdot (\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=m(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})-n\overrightarrow{CA}^{2}+n\overrightarrow{CB}^{2}=20(m-n)-25m+64n=0$。 所以$5m=44n$，所以$\frac{m}{n}=\frac{44}{5}$。
解法二 $\triangle ABC$中，由余弦定理得 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C=8^{2}+5^{2}-2 \times 8 \times 5 \times \frac{1}{2}=49$，所以$c=7$。 又因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}c \cdot CH$， 所以$CH=\frac{ab\sin C}{c}=\frac{8 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{20\sqrt{3}}{7}$。 所以$AH=\sqrt{CA^{2}-CH^{2}}=\frac{5}{7}$，$\frac{AH}{AB}=\frac{5}{49}$。 所以$\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{CA}+\frac{5}{49}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\frac{44}{49}\overrightarrow{CA}+\frac{5}{49}\overrightarrow{CB}$。 由平面向量基本定理知，$m=\frac{44}{49}$，$n=\frac{5}{49}$， 所以$\frac{m}{n}=\frac{44}{5}$。