《2026年学易优高考二轮总复习数学》

训练 2 (2025·湛江调研)如图，在△ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 AB ⊥ BD. 已知 cos A = 2 sin $\frac{A}{2}$ sin $\frac{∠ABC + C}{2}$，AB = √2.

(1)求 A；
(2)若△BCD 的面积为 $\frac{1}{2}$，求 BC.

答案： 训练2　解：
(1)因为$\cos A=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{\angle ABC + C}{2}=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{\pi - A}{2}=2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}=\sin A$，可得$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=1$，因为$A\in(0,\pi)$，所以$A=\frac{\pi}{4}$。
(2)作$BE\perp AC$，垂足为E，在$\triangle ABD$中，由$A=\frac{\pi}{4}$，$AB\perp BD$，知$\triangle ABD$为等腰直角三角形，因为$AB=\sqrt{2}$，所以$BD=\sqrt{2}$，$AD = 2$，$BE = 1$，由$\triangle BCD$的面积为$\frac{1}{2}BE· CD=\frac{1}{2}$，解得$CD = 1$，可得$AC=AD + CD=3$，所以$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB· AC·\cos A}=\sqrt{5}$。

例 3 (2025·临沂模拟)在同一平面上有相距 14 公里的 A，B 两座炮台，A 在 B 的正东方. 某次演习时，A 向西偏北 θ 方向发射炮弹，B 则向东偏北 θ 方向发射炮弹，其中 θ 为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里外的同一目标 C，接着 A 改向向西偏北 $\frac{θ}{2}$ 方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点 M，则 B 炮台与弹着点 M 的距离为 (D)

A.7 公里
B.8 公里
C.9 公里
D.10 公里

答案：
例3　D　依题意，设炮弹第一次命中点为C，则$AB = 14$，$AC=BC=AM = 18$，$\angle CBA=\angle CAB=\theta$，$\angle MAB=\frac{\theta}{2}$，在$\triangle ABC$中$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2AC· AB\cos\theta$，即$18^{2}=14^{2}+18^{2}-2×14×18\cos\theta$，解得$\cos\theta=\frac{7}{18}$，所以$\cos\theta=2\cos^{2}\frac{\theta}{2}-1=\frac{7}{18}$，又$\theta$为锐角，解得$\cos\frac{\theta}{2}=\frac{5}{6}$（负值舍去），在$\triangle ABM$中$BM^{2}=AM^{2}+AB^{2}-2AM· AB\cos\frac{\theta}{2}=18^{2}+14^{2}-2×18×14×\frac{5}{6}=100$，所以$BM = 10$，即B炮台与弹着点M的距离为10公里。

训练 3 (2025·黄冈模拟)“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹. 李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家. 他历经 27 个寒暑，三易其稿，完成了 192 万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”. 为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示. 某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点 A，B，C，分别测得雕像顶的仰角为 60°，45°，30°，且 AB = BC = $\frac{67\sqrt{6}}{10}$ 米，则雕像高为 20.1 米.

答案：
训练3　20.1　如图所示，设雕像的高为$PO = h$，因为在地面上选取共线的三点A，B，C，分别测得雕像顶的仰角为$60^{\circ}$，$45^{\circ}$，$30^{\circ}$，则$OA=\frac{\sqrt{3}}{3}h$，$OB = h$，$OC=\sqrt{3}h$，其中$OB$为$\triangle OAC$的中线，在$\triangle OAB$中，由余弦定理得$OA^{2}=OB^{2}+AB^{2}-2OB· AB\cos\angle OBA$，在$\triangle OBC$中，由余弦定理得$OC^{2}=OB^{2}+BC^{2}-2OB· BC\cos(\pi-\angle OBA)$，两式相加，可得$OA^{2}+OC^{2}=2OB^{2}+AB^{2}+BC^{2}$，即$(\frac{\sqrt{3}}{3}h)^{2}+(\sqrt{3}h)^{2}=2h^{2}+2AB^{2}$，解得$h=\frac{\sqrt{6}}{2}AB=\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{67\sqrt{6}}{10}=20.1$（米）。