《2026年学易优高考二轮总复习数学》

例4(2025·北京石景山区模拟)在锐角$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$2b\sin A-\sqrt{3}a = 0$.
(1)求角$B$的大小；
(2)求$\cos A+\cos C$的取值范围.

答案：
(1)因为$2b\sin A-\sqrt{3}a=0$，
由正弦定理得$2\sin B\sin A-\sqrt{3}\sin A=0$，
由于在$\triangle ABC$中，$\sin A\neq0$，
所以$2\sin B-\sqrt{3}=0$，
即$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$0＜B＜\frac{\pi}{2}$，所以$B=\frac{\pi}{3}$.
(2)由
(1)可知$B=\frac{\pi}{3}$，所以$A+C=\frac{2\pi}{3}$，
所以$\cos A+\cos C=\cos A+\cos(\frac{2\pi}{3}-A)$
$=\cos A+\cos\frac{2\pi}{3}\cos A+\sin\frac{2\pi}{3}\sin A$
$=\cos A-\frac{1}{2}\cos A+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A=\sin(A+\frac{\pi}{6})$，
由于在锐角$\triangle ABC$中，$\begin{cases}0＜\frac{2\pi}{3}-A＜\frac{\pi}{2}\\0＜A＜\frac{\pi}{2}\end{cases}$
所以$\frac{\pi}{6}＜A＜\frac{\pi}{2}$，
所以$\frac{\pi}{3}＜A+\frac{\pi}{6}＜\frac{2\pi}{3}$，
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}＜\sin(A+\frac{\pi}{6})\leqslant1$，
所以$\cos A+\cos C$的取值范围是$(\frac{\sqrt{3}}{2},1]$.

训练2(2025·沧州模拟)在四边形$ABCD$中，$\triangle ABD$为锐角三角形，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$AD = 2$，$AC = 4$，$BD=\sqrt{6}$，$\angle ABD=\frac{\pi}{4}$.
(1)求$AB$；
(2)求四边形$ABCD$面积的最大值.

答案：
(1)在$\triangle ABD$中，由余弦定理的推论可得
$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{AB^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{2AB· BD}=\frac{AB^{2}+6 - 4}{2\sqrt{6}AB}$，
化简为$AB^{2}-2\sqrt{3}AB+2=0$，
解得$AB=\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}-1$，
当$AB=\sqrt{3}-1$时，
因为$\cos\angle BAD=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}+4 - 6}{2×2×(\sqrt{3}-1)}=\frac{2 - 2\sqrt{3}}{2×2×(\sqrt{3}-1)}＜0$，
与$\triangle ABD$为锐角三角形不符合，故$AB=\sqrt{3}+1$.
(2)作$AE,CF$垂直$BD$于点$E,F$，
则$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CBD}$
$=\frac{1}{2}BD· AE+\frac{1}{2}BD· CF$
$=\frac{1}{2}BD(AO\sin\angle AOB+CO\sin\angle DOC)$
$=\frac{1}{2}BD· AC\sin\angle AOB$，
所以当$\sin\angle AOB=1$，即$\angle AOB=90^{\circ}$，即$AC\perp BD$时，四边形面积最大，最大面积为$\frac{1}{2}×4×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$.

1. (2025·全国二卷)已知平面向量 $ \boldsymbol{a}=(x,1) $，$ \boldsymbol{b}=(x - 1,2x) $，若 $ \boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) $，则 $ |\boldsymbol{a}| = $$\sqrt{2}$。

答案： 1.$\sqrt{2}$ 平面向量的坐标运算+向量的垂直、模 $a - b = (1,1 - 2x)$，根据$a\perp(a - b)$，得$a·(a - b)=x + 1 - 2x = 1 - x = 0$，所以$x = 1$，所以$\vert a\vert=\sqrt{2}$.

2. (2024·新高考Ⅰ卷)已知向量 $ \boldsymbol{a}=(0,1) $，$ \boldsymbol{b}=(2,x) $，若 $ \boldsymbol{b} \perp (\boldsymbol{b} - 4\boldsymbol{a}) $，则 $ x = $(D)

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 2.D 解法一(向量法+坐标法) 因为$b\perp(b - 4a)$，所以$b·(b - 4a)=0$，即$b^{2}=4a· b$. 因为$a = (0,1)$，$b = (2,x)$，所以$b^{2}=4 + x^{2}$，$a· b = x$，得$4 + x^{2}=4x$，所以$(x - 2)^{2}=0$，解得$x = 2$，故选D.
解法二(坐标法) 因为$a = (0,1)$，$b = (2,x)$，所以$b - 4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x - 4)$. 因为$b\perp(b - 4a)$，所以$b·(b - 4a)=0$，所以$2×2 + x(x - 4)=0$，所以$(x - 2)^{2}=0$，解得$x = 2$，故选D.

3. (2025·天津卷)$ \triangle ABC $中，$ D $为 $ AB $边中点，$ \overrightarrow{CE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} $，$ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} $，$ \overrightarrow{AC} = \boldsymbol{b} $，则 $ \overrightarrow{AE} = $$\frac{1}{6}a+\frac{2}{3}b$(用 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $表示)，若 $ |\overrightarrow{AE}| = 5 $，$ AE \perp CB $，则 $ \overrightarrow{AE} · \overrightarrow{CD} = $-15。

答案：
3.$\frac{1}{6}a+\frac{2}{3}b - 15$ 如图，
因为$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$，所以$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$，所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
因为D为线段AB的中点，所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{6}a+\frac{2}{3}b$;
又因为$\vert\overrightarrow{AE}\vert = 5$，$AE\perp CB$，所以$\overrightarrow{AE}^{2}=(\frac{1}{6}a+\frac{2}{3}b)^{2}=\frac{1}{36}a^{2}+\frac{2}{9}a· b+\frac{4}{9}b^{2}=25$，
$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{CB}=(\frac{1}{6}a+\frac{2}{3}b)·(a - b)=\frac{1}{6}a^{2}+\frac{1}{2}a· b-\frac{2}{3}b^{2}=0$，所以$a^{2}+3a· b = 4b^{2}$，
所以$a^{2}+4a· b = 180$，
所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{CD}=(\frac{1}{6}a+\frac{2}{3}b)·(-b+\frac{1}{2}a)=\frac{1}{12}a^{2}+\frac{1}{6}a· b-\frac{2}{3}b^{2}=\frac{1}{12}(a^{2}+2a· b - 8b^{2})$
$=\frac{1}{12}(a^{2}+2a· b - 2a^{2}-6a· b)=\frac{1}{12}(-a^{2}-4a· b)= - 15$.
故答案为$\frac{1}{6}a+\frac{2}{3}b;-15$.

4. (2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速。视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反。图 1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2 所示(线段长度代表速度大小，单位：$ m/s $)，则该时刻的真风为(A)


A.轻风
B.微风
C.和风
D.劲风

答案：
4.A 新情境题+向量加法+向量模 真风风速对应的向量=视风风速对应的向量一船行风速对应的向量=视风风速对应的向量+船速对应的向量=$\overrightarrow{AB}$，如图，$\vert\overrightarrow{AB}\vert=2\sqrt{2}\in(1.6,3.3)$，故选A.