《2026年学易优高考二轮总复习数学》

训练 3 (1)(多选)(2025·温州模拟)若圆 $C$ 与直线 $3x - 4y - 12 = 0$ 相切，且与圆 $x^{2}-2x + y^{2}=0$ 相切于点 $A(2,0)$，则圆 $C$ 的半径为(BD)
A.5
B.3
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案：
训练3　
(1)BD　圆$x^2 - 2x + y^2 = 0$的圆心为$(1,0)$，半径为$1$。圆$C$与圆$x^2 - 2x + y^2 = 0$相切于点$A(2,0)$，则圆心在$x$轴，设圆心为$(a,0)$。
则由题意$\vert a - 2\vert = \frac{\vert 3a - 12\vert}{5}$，

解得$a = -1$或$a = \frac{11}{4}$。
$a = -1$时，半径为$\vert -1 - 2\vert = 3$；$a = \frac{11}{4}$时，半径为$\vert \frac{11}{4} - 2\vert = \frac{3}{4}$。故选BD。

(2)(2025·四川·三模)已知圆 $C:x^{2}+y^{2}-2x + 4y - 20 = 0$ 上恰有两个点到直线 $l:x + y + m = 0(m＞0)$ 的距离为 2，则 $m$ 的取值范围是(B)

A.$(3\sqrt{2},7\sqrt{2})$
B.$(3\sqrt{2}+1,7\sqrt{2}+1)$
C.$(2\sqrt{2},7\sqrt{2})$
D.$(2\sqrt{2}+1,7\sqrt{2}+1)$

答案：
(2)B　由题意可得圆$C:(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$，则圆心$C(1, - 2)$，半径$r = 5$，则圆心$C$到直线$l$的距离$d = \frac{\vert m - 1\vert}{\sqrt{2}}$。因为圆$C$上恰有两个点到直线$l$的距离为$2$，所以$r - 2 ＜ d ＜ r + 2$，即$3 ＜ \frac{\vert m - 1\vert}{\sqrt{2}} ＜ 7$，又$m ＞ 0$，解得$3\sqrt{2} + 1 ＜ m ＜ 7\sqrt{2} + 1$。故选B。

例 5 (1)已知直线 $kx - y + 2k = 0$ 与直线 $x + ky - 2 = 0$ 相交于点 $P$，点 $A(4,0)$，$O$ 为坐标原点，则 $\tan\angle OAP$ 的最大值为(B)

A.$2-\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.1
D.$\sqrt{3}$

答案：
例5　
(1)B　直线$kx - y + 2k = 0$恒过定点$M(-2,0)$，直线$x + ky - 2 = 0$恒过定点$N(2,0)$。又易知两直线垂直，故$P$点轨迹是以$(0,0)$为圆心，$2$为半径的圆，除去与$x$轴的交点，于是得$x^2 + y^2 = 4(x \neq \pm 2)$。

如图，观察图形可知，射线$AP$绕点$A$旋转$\angle OAP \in (0,\frac{\pi}{2})$，当旋转到与圆$O:x^2 + y^2 = 4$相切时，$\angle OAP$最大。因为$\vert OA\vert = 4$，$AP'$为切线，点$P'$为切点，$\vert OP'\vert = 2$，$\angle OP'A = \frac{\pi}{2}$，则$\angle OAP' = \frac{\pi}{6}$，所以$\angle OAP$最大值为$\frac{\pi}{6}$，所以$(\tan\angle OAP)_{\max} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

(2)在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C:(x - a)^{2}+(y - a + 2)^{2}=1$，点 $A(0,2)$，若圆 $C$ 上存在点 $M$，满足 $\vert MA\vert^{2}+\vert MO\vert^{2}=10$，则实数 $a$ 的取值范围是[0,3]。

答案：
(2)$[0,3]$　设$M(x,y)$，由$\vert MA\vert^2 + \vert MO\vert^2 = 10$可得$x^2 + (y - 2)^2 + x^2 + y^2 = 10$，即$x^2 + (y - 1)^2 = 4$，则点$M$在圆$x^2 + (y - 1)^2 = 4$上。
由题目条件可知点$M$在圆$C:(x - a)^2 + (y - a + 2)^2 = 1$上，所以两圆相交或相切，则$2 - 1 \leq \sqrt{(a - 0)^2 + (a - 2 - 1)^2} \leq 1 + 2$，解得$0 \leq a \leq 3$。

训练 4 (多选)(2025·盐城调研)在平面直角坐标系中，存在三点 $A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,7)$，动点 $P$ 满足 $\vert PA\vert=\sqrt{2}\vert PB\vert$，则(ABD)
A.点 $P$ 的轨迹方程为 $(x - 3)^{2}+y^{2}=8$
B.$\triangle PAB$ 面积最大时，$\vert PA\vert=2\sqrt{6}$
C.$\angle PAB$ 最大时，$\vert PA\vert=2\sqrt{6}$
D.$P$ 到直线 $AC$ 距离的最小值为 $\frac{4\sqrt{2}}{5}$

答案： 训练4　ABD　设$P(x,y)$，由$\vert PA\vert = \sqrt{2}\vert PB\vert$得$\vert PA\vert^2 = 2\vert PB\vert^2$，即$(x + 1)^2 + y^2 = 2[(x - 1)^2 + y^2]$，化简可得$(x - 3)^2 + y^2 = 8$，即点$P$的轨迹方程为$(x - 3)^2 + y^2 = 8$，A正确。
因为直线$AB$过圆$(x - 3)^2 + y^2 = 8$的圆心，所以点$P$到直线$AB$的距离的最大值为圆$(x - 3)^2 + y^2 = 8$的半径$r$，即为$2\sqrt{2}$。因为$\vert AB\vert = 2$，所以$\triangle PAB$面积最大为$\frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$，此时$P(3, \pm 2\sqrt{2})$，所以$\vert PA\vert = \sqrt{(3 + 1)^2 + (2\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{6}$，B正确。
当$\angle PAB$最大时，则$PA$为圆$(x - 3)^2 + y^2 = 8$的切线，所以$\vert PA\vert = \sqrt{(3 + 1)^2 - 8} = 2\sqrt{2}$，C错误。
直线$AC$的方程为$7x - y + 7 = 0$，则圆心$(3,0)$到直线$AC$的距离为$\frac{\vert 7 × 3 - 0 + 7\vert}{\sqrt{7^2 + 1}} = \frac{14\sqrt{2}}{5}$，所以点$P$到直线$AC$距离的最小值为$\frac{14\sqrt{2}}{5} - 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{5}$，D正确。

1. (2025·北京卷)抛物线 $ y^{2}=2px(p＞0) $ 的顶点到焦点的距离为 3，则 $ p= $6。

答案： 1. 6 因为抛物线的顶点到焦点的距离为$\frac{p}{2}$，故$\frac{p}{2}=3$，故$p = 6$。故答案为 6。

2. (2025·北京卷)双曲线 $ x^{2}-4y^{2}=4 $ 的离心率为(B)

A.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{5}}{2} $
C.$ \dfrac{5}{4} $
D.$ \sqrt{5} $

答案： 2. B 由$x^{2}-4y^{2}=4$得，$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，所以$a^{2}=4$，$b^{2}=1$，$c^{2}=a^{2}+b^{2}=5$，即$a = 2$，$c = \sqrt{5}$，所以$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。故选 B。

3. (2025·全国一卷)已知双曲线 $ C $ 的虚轴长是实轴长的 $ \sqrt{7} $ 倍，则 $ C $ 的离心率为(D)

A.$ \sqrt{2} $
B.2
C.$ \sqrt{7} $
D.$ 2\sqrt{2} $

答案： 3. D 双曲线离心率十基本量计算 依题意得$b = \sqrt{7}a$，又$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$c^{2}=a^{2}+(\sqrt{7}a)^{2}=8a^{2}$，即$c = 2\sqrt{2}a$，故$e = 2\sqrt{2}$。故选 D。

4. (2025·全国二卷)设抛物线 $ C:y^{2}=2px(p＞0) $ 的焦点为 $ F $，点 $ A $ 在 $ C $ 上，过 $ A $ 作 $ C $ 的准线的垂线，垂足为 $ B $，若直线 $ BF $ 的方程为 $ y=-2x+2 $，则 $ |AF|= $(C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 4. C 直线与抛物线的位置关系 根据直线$y = -2x + 2$得$F(1,0)$，所以$C$的准线方程为$x = -1$，$C$的方程为$y^{2}=4x$，所以$B(-1,4)$，所以$A(4,4)$，所以$|AF| = |AB| = 5$。