《2026年学易优高考二轮总复习数学》

1. (2024·天津卷)若 $ a = 4.2^{-0.3} $，$ b = 4.2^{0.3} $，$ c = \log_{4.2}0.2 $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为 (B)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ c ＞ a ＞ b $
D.$ b ＞ c ＞ a $

答案： 1.B　因为$y = 4.2^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，且$-0.3 ＜ 0 ＜ 0.3$，所以$4.2^{-0.3} ＜ 4.2^{0} ＜ 4.2^{0.3}$，所以$0 ＜ 4.2^{-0.3} ＜ 1 ＜ 4.2^{0.3}$，即$0 ＜ a ＜ 1 ＜ b$. 因为$y = \log_{4.2}x$在$(0, +\infty)$上单调递增，且$0.2 ＜ 1$，所以$\log_{4.2}0.2 ＜ \log_{4.2}1 = 0$，即$c ＜ 0$，所以$b ＞ a ＞ c$，故选B.

2. (2023·全国甲卷)已知函数 $ f(x) = e^{-(x - 1)^2} $。记 $ a = f(\frac{\sqrt{2}}{2}) $，$ b = f(\frac{\sqrt{3}}{2}) $，$ c = f(\frac{\sqrt{6}}{2}) $，则 (A)

A.$ b ＞ c ＞ a $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ c ＞ b ＞ a $
D.$ c ＞ a ＞ b $

答案： 2.A　函数$f(x) = \mathrm{e}^{-(x - 1)^{2}}$是由函数$y = \mathrm{e}^{u}$和$u = -(x - 1)^{2}$复合而成的复合函数，$y = \mathrm{e}^{u}$为$\mathbf{R}$上的增函数，$u = -(x - 1)^{2}$在$(-\infty, 1)$上单调递增，在$(1, +\infty)$上单调递减. 由复合函数的单调性可知，$f(x)$在$(-\infty, 1)$上单调递增，在$(1, +\infty)$上单调递减. 易知$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，所以$c = f(\frac{\sqrt{6}}{2}) = f(2 - \frac{\sqrt{6}}{2})$，又$\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ 2 - \frac{\sqrt{6}}{2} ＜ \frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 1$，所以$f(\frac{\sqrt{2}}{2}) ＜ f(2 - \frac{\sqrt{6}}{2}) ＜ f(\frac{\sqrt{3}}{2})$，所以$b ＞ c ＞ a$. 故选A.

3. (2024·北京卷)生物丰富度指数 $ d = \frac{S - 1}{\ln N} $ 是河流水质的一个评价指标，其中 $ S $，$ N $ 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数 $ d $ 越大，水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数 $ S $ 没有变化，生物个体总数由 $ N_1 $ 变为 $ N_2 $，生物丰富度指数由 $ 2.1 $ 提高到 $ 3.15 $，则 (D)

A.$ 3N_2 = 2N_1 $
B.$ 2N_2 = 3N_1 $
C.$ N_2^2 = N_1^3 $
D.$ N_2^3 = N_1^2 $

答案： 3.D　由题意，得$\frac{S - 1}{\ln N_{1}} = 2.1$，$\frac{S - 1}{\ln N_{2}} = 3.15$. 若$S$不变，则$2.1\ln N_{1} = 3.15\ln N_{2}$，即$2\ln N_{1} = 3\ln N_{2}$，所以$N_{1}^{2} = N_{2}^{3}$.

4. (2025·天津卷)函数 $ f(x) = 0.3^x - \sqrt{x} $ 的零点所在区间是 (B)

A.$ (0, 0.3) $
B.$ (0.3, 0.5) $
C.$ (0.5, 1) $
D.$ (1, 2) $

答案： 4.B　函数的零点+指数函数、幂函数的单调性 易知$f(x)$单调递减，又$f(0) = 1 ＞ 0$，$f(0.3) = 0.3^{0.3} - \sqrt{0.3} = 0.3^{0.3} - 0.3^{0.5} ＞ 0$，$f(0.5) = 0.3^{0.5} - \sqrt{0.5} = \sqrt{0.3} - \sqrt{0.5} ＜ 0$，所以$f(x)$的零点所在区间是$(0.3, 0.5)$. 故选B.

(1) (2025·深圳模拟)已知 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，则函数 $ y = \log_a (x + \frac{1}{a}) $ 的图象一定经过 (D)

A.一、二象限
B.一、三象限
C.二、四象限
D.三、四象限

答案：

(1)D　当$x = 0$时，$y = \log_{a}\frac{1}{a} = -1$，则当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数图象过二、三、四象限；

当$a ＞ 1$时，函数图象过一、三、四象限，

所以函数$y = \log_{a}(x + \frac{1}{a})$的图象一定经过三、四象限.

(2) (多选)(2025·福州名校联考)已知函数 $ f(x) = 4^x + \frac{1}{4^x} + 2 $，则下列说法正确的是 (BD)

A.$ f(x) $ 在 $ (-\infty, 0) $ 上单调递增
B.$ f(x) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称
C.$ f(x) $ 的图象关于点 $ (0, 1) $ 对称
D.不等式 $ f(x + 1) ＜ \frac{25}{4} $ 的解集是 $ (-2, 0) $

答案：
(2)BD　当$x ＜ 0$时，$f^{\prime}(x) = 4^{x}\ln 4 - \frac{1}{4^{-x}}\ln 4 = (4^{x} - 4^{-x})\ln 4 ＜ 0$，所以$f(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递减，故A错误；
$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x) = 4^{-x} + \frac{1}{4^{x}} + 2 = \frac{1}{4^{x}} + 4^{x} + 2 = f(x)$，所以$f(x)$的图象关于$y$轴对称，故B正确；因为$f(x) + f(-x) = 2(4^{x} + \frac{1}{4^{x}}) + 4 ＞ 2$，故函数$f(x)$的图象不关于点$(0, 1)$对称，故C错误；由$f(x + 1) = 4^{x + 1} + \frac{1}{4^{x + 1}} + 2 ＜ \frac{25}{4}$，得$(4^{x + 1})^{2} - \frac{17}{4} · 4^{x + 1} + 1 ＜ 0$，则$\frac{1}{4} ＜ 4^{x + 1} ＜ 4$，可得$-1 ＜ x + 1 ＜ 1$，解得$-2 ＜ x ＜ 0$，因此不等式$f(x + 1) ＜ \frac{25}{4}$的解集是$(-2, 0)$，故D正确. 故选BD.

(1) (2025·上饶六校联考)已知 $ a = \log_3 0.9 $，$ b = 0.3^{0.4} $，$ c = 0.4^{0.3} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为 (B)

A.$ b ＜ c ＜ a $
B.$ a ＜ b ＜ c $
C.$ a ＜ c ＜ b $
D.$ b ＜ a ＜ c $

答案：
(1)B　由$y = \log_{3}x$在$(0, +\infty)$上单调递增，知$a = \log_{3}0.9 ＜ \log_{3}1 = 0$，由$y = 0.3^{x}$在$(0, +\infty)$上单调递减，知$0 ＜ b = 0.3^{0.4} ＜ 0.3^{0.3}$，由$y = x^{0.3}$在$(0, +\infty)$上单调递增，知$c = 0.4^{0.3} ＞ 0.3^{0.3}$. 故$a ＜ b ＜ c$. 故选B.