《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(2) (2025·湖北模拟)已知函数 $ f(x) = \log_5 (a^x - 2) $ 在 $ [1, +\infty) $ 上单调递增，则 $ a $ 的取值范围是 (C)

A.$ (1, +\infty) $
B.$ [\ln 2, +\infty) $
C.$ (2, +\infty) $
D.$ [2, +\infty) $

答案：
(2)C　若$f(x) = \log_{5}(a^{x} - 2)$在$[1, +\infty)$上单调递增，则必然在$x = 1$处有定义，所以$a^{1} - 2 ＞ 0$，即$a ＞ 2$. 若$a ＞ 2$，则当$x \geqslant 1$时，$a^{x} - 2 \geqslant a - 2 ＞ 0$，所以$f(x)$在$[1, +\infty)$上有定义，再由$a ＞ 2$知$a^{x} - 2$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以$f(x)$在$[1, +\infty)$上单调递增，故$a$的取值范围是$(2, +\infty)$.

(2025·重庆七校联考)定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x - 1) = f(x + 1) $，且当 $ x \in [-1, 0] $ 时，$ f(x) = x^2 $，函数 $ g(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ g(x) = \lg x $，则函数 $ h(x) = f(x) - g(x) $ 的零点的个数是11。
考向 2 求参数的值或取值范围

答案：
11　因为$f(x - 1) = f(x + 1)$，所以$f(x)$的周期为$2$，又$f(x)$为偶函数，且当$x \in [-1, 0]$时，$f(x) = x^{2}$，所以可利用$f(x)$的周期性与奇偶性作出$f(x)$的大致图象.
因为$g(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x ＞ 0$时，$g(x) = \lg x$，所以函数$y = g(x)$的大致图象如图所示.

考虑特殊位置，当$x = -1$时，$f(-1) = 1$，$g(-1) = -\lg 1 = 0$；
当$x = 9$时，$f(9) = f(1) = f(-1) = 1$，$g(9) = \lg 9 ＜ 1$；
当$x = 11$时，$f(11) = f(1) = 1$，$g(11) = \lg 11 ＞ 1$，
函数$h(x) = f(x) - g(x)$的零点个数即函数$y = f(x)$与函数$y = g(x)$图象的交点个数，
所以由图象可知函数$y = f(x)$与函数$y = g(x)$图象的交点个数为$11$（不要忽略原点）.

(2025·榆林模拟)已知函数 $ f(x) = (x^2 - 4x + m)(4^{\frac{x}{3}} - m - 1) $ 恰有 $ 3 $ 个零点，则 $ m $ 的取值范围是$(-1, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 4)$。

答案：
$(-1, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 4)$　令$f(x) = (x^{2} - 4x + m)(4^{\frac{x}{3}} - m - 1) = 0$，
得$m = -x^{2} + 4x$或$m = 4^{\frac{x}{3}} - 1$.
令$g(x) = -x^{2} + 4x$，$h(x) = 4^{\frac{x}{3}} - 1$，作出两函数的大致图象，如图所示，

这两个函数图象的交点为$(0, 0)$，$(3, 3)$，因为$g(x)_{\max} = 4$，$h(x) ＞ -1$，
所以由图可知$m$的取值范围是$(-1, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 4)$.

(多选)(2025·青岛模拟)已知函数 $ f(x) = \begin{cases} |2^x - 4|, & x ＞ 0, \\ x^2 + 4x + 3, & x \leq 0 \end{cases} $，函数 $ g(x) = f(x) + a $ 的四个零点分别为 $ x_1 $，$ x_2 $，$ x_3 $，$ x_4 $，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $，则下列结论正确的是 (BCD)

A.$ 0 ＜ a ＜ 3 $
B.$ x_1 + x_2 = -4 $
C.$ x_3 + x_4 ＜ 4 $
D.$ 2^{x_3} + 4^{x_4} ＞ 20 $

答案： BCD　$f(x) = \begin{cases} |2^{x} - 4|, & x ＞ 0 \\ x^{2} + 4x + 3, & x \leqslant 0 \end{cases}$
$g(x) = f(x) + a$有四个零点$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$，且$x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3} ＜ x_{4}$，即$g(x) = f(x) + a = 0$有四个解，即$y = f(x)$的图象与直线$y = -a$有四个交点，结合图象可知$0 ＜ -a ＜ 3$，所以$-3 ＜ a ＜ 0$，
故A错误. 由图可知$x_{1} + x_{2} = -4$，故B正确. 当$x ＞ 0$时，$f(x) = |2^{x} - 4|$，因为$|2^{x_{3}} - 4| = |2^{x_{4}} - 4|$，所以$4 - 2^{x_{3}} = 2^{x_{4}} - 4$，即$2^{x_{3}} + 2^{x_{4}} = 8$，所以$2^{x_{3}+x_{4}} ＜ 16 = 2^{4}$，所以$x_{3} + x_{4} ＜ 4$，故C正确. 又$2^{x_{3}} = 8 - 2^{x_{4}}$，所以$2^{x_{3}} + 4^{x_{4}} = 2^{x_{3}} + 2^{2x_{4}} = 2^{x_{3}} + (8 - 2^{x_{3}})^{2} = t^{2} - 15t + 64$，令$t = 2^{x_{3}}$，$t \in (1, 4)$，则$2^{x_{3}} + 4^{x_{4}} = t + (8 - t)^{2} = t^{2} - 15t + 64$，令
详解答案
$h(x) = x^{2} - 15x + 64$，$x \in (1, 4)$，函数图象的对称轴为直线$x = \frac{15}{2}$，所以函数$h(x) = x^{2} - 15x + 64$在$(1, 4)$上单调递减，所以$h(x) ＞ h(4) = 20$，即$t^{2} - 15t + 64 ＞ 20$，故$2^{x_{3}} + 4^{x_{4}} ＞ 20$，故D正确. 故选BCD.

(1) (2025·北京延庆调研)已知函数 $ f(x) = (\frac{1}{2})^x - x^{\frac{1}{3}} $，那么在下列区间中含有零点的为 (B)

A.$ (0, \frac{1}{3}) $
B.$ (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) $
C.$ (\frac{1}{2}, 1) $
D.$ (1, 2) $

答案：
(1)B　易知函数$f(x)$在$[0, +\infty)$上单调递减，因为$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^{3} - (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} ＞ 0$，$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{3} - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} ＜ 0$，所以$f(\frac{1}{3}) · f(\frac{1}{2}) ＜ 0$，由函数零点存在定理知在区间$(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$内有零点. 故选B.

(2) (2025·海南质检)函数 $ y = e^x + x^2 + 2x - 1 $ 的零点个数为 (C)

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案：

(2)C　函数$y = \mathrm{e}^{x} + x^{2} + 2x - 1$的零点个数即函数$f(x) = \mathrm{e}^{x}$与$g(x) = -x^{2} - 2x + 1$的图象的交点个数，分别作出$f(x) = \mathrm{e}^{x}$与$g(x) = -x^{2} - 2x + 1$的图象，如图所示，由图可知，两图象有$2$个交点，故原函数有$2$个零点. 故选C.

(3) (2025·内蒙古赤峰三模)已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3, & x \leq 0 \\ 1 + \log_{\frac{1}{3}}x, & x ＞ 0 \end{cases} $，若函数 $ g(x) = f(x) - a $ 恰有 $ 3 $ 个零点，则 $ a $ 的取值范围为 (A)

A.$ (-1, 3] $
B.$ [0, 3] $
C.$ (-1, 0] $
D.$ (3, +\infty) \cup \{-1\} $

答案：

(3)A　若函数$g(x) = f(x) - a$恰有$3$个零点，即函数$y = f(x)$与$y = a$的图象有$3$个交点，$f(x) = x^{2} + 4x + 3 = (x + 2)^{2} - 1$ $(x \leqslant 0)$，当$x = 0$时，$f(x) = 3$，当$x = -2$时，$f(x) = -1$，函数$y = f(x)$的图象如下，结合图象可得$-1 ＜ a \leqslant 3$. 故选A.

(2025·德阳模拟)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合。已知某类果蔬的保鲜时间 $ y $ (单位：小时)与储藏温度 $ x $ (单位：$ ° C $)满足函数关系：$ y = e^{ax + b} $ ($ a $，$ b $ 为常数)，若该果蔬在 $ 7 ° C $ 的保鲜时间为 $ 288 $ 小时，在 $ 21 ° C $ 的保鲜时间为 $ 32 $ 小时，且该果蔬所需物流时间为 $ 4 $ 天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过 (A)

A.$ 14 ° C $
B.$ 15 ° C $
C.$ 13 ° C $
D.$ 16 ° C $

答案： A　依题意，$\begin{cases} \mathrm{e}^{7a + b} = 288 \\ \mathrm{e}^{21a + b} = 32 \end{cases}$则$\mathrm{e}^{14a} = \frac{1}{9}$，即$\mathrm{e}^{7a} = \frac{1}{3}$，显然$a ＜ 0$，设物流过程中果蔬的储藏温度为$t\ ^{\circ}C$，于是$\mathrm{e}^{at + b} \geqslant 96 = 3\mathrm{e}^{21a + b} = \mathrm{e}^{-7a} · \mathrm{e}^{21a + b} = \mathrm{e}^{14a + b}$，因此$t \leqslant 14$，所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过$14\ ^{\circ}C$.