《2026年学易优高考二轮总复习数学》

1. (2025·全国一卷)已知点$(a,0)(a＞0)$是函数$y = 2\tan(x - \frac{\pi}{3})$的图象的一个对称中心，则$a$的最小值为(B)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$\frac{4\pi}{3}$

答案： 1.B 正切函数图象的对称性 令$x-\frac{\pi}{3}=\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，得$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3},k\in\mathbf{Z}$，故$y=2\tan(x-\frac{\pi}{3})$的图象的对称中心为$(\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3},0),k\in\mathbf{Z}$，由题意知$a=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3},k\in\mathbf{N}$，其最小值为$\frac{\pi}{3}$.故选B.

2. (2025·天津卷)$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega＞0,-\pi＜\varphi＜\pi)$在$[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]$上单调递增，且$x=\frac{\pi}{12}$为$f(x)$图象的一条对称轴，$(\frac{\pi}{3},0)$是$f(x)$图象的一个对称中心，当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$f(x)$的最小值为(A)

A.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-1$
D.$0$

答案： 2.A 三角函数的图象与性质 因为$f(x)$在$\left[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right]$上单调递增且$x=\frac{\pi}{12}$为$f(x)$图象的一条对称轴，所以$\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{\omega}\geqslant\frac{\pi}{12}-(-\frac{5\pi}{12})$，$f(\frac{\pi}{12})=\sin(\frac{\pi}{12}\omega+\varphi)=1$，得$0＜\omega\leqslant2$，且$\frac{\pi}{12}\omega+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k_1\pi(k_1\in\mathbf{Z})$ ①.因为$(\frac{\pi}{3},0)$是$f(x)$图象的一个对称中心，所以$f(\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3}\omega+\varphi)=0$，得$\frac{\pi}{3}\omega+\varphi=k_2\pi(k_2\in\mathbf{Z})$ ②，由①②得$\omega=-2+4(k_2-2k_1)(k_1,k_2\in\mathbf{Z})$，结合$0＜\omega\leqslant2$，得$\omega=2$，则$\varphi=\frac{\pi}{3}+2k_1\pi(k_1\in\mathbf{Z})$，又$-\pi＜\varphi＜\pi$，所以$\varphi=\frac{\pi}{3}$，故$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$.当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$，所以$f(x)$的最小值为$f(\frac{\pi}{2})=\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，故选A.

3. (多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数$f(x)=\sin 2x$和$g(x)=\sin(2x - \frac{\pi}{4})$，下列说法中正确的有(BC)

A.$f(x)$与$g(x)$有相同的零点
B.$f(x)$与$g(x)$有相同的最大值
C.$f(x)$与$g(x)$有相同的最小正周期
D.$f(x)$与$g(x)$的图象有相同的对称轴

答案： 3.BC 对于A，令$f(x)=0$，则$x=\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，又$g(\frac{k\pi}{2})\neq0$，故A错误；对于B，$f(x)$与$g(x)$的最大值都为1，故B正确；对于C，$f(x)$与$g(x)$的最小正周期都为$\pi$，故C正确；对于D，$f(x)$图象的对称轴方程满足$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，即$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，$g(x)$图象的对称轴方程满足$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，即$x=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，故$f(x)$与$g(x)$的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC.

4. (2024·全国甲卷)函数$f(x)=\sin x - \sqrt{3}\cos x$在$[0,\pi]$上的最大值是2。

答案： 4.2 由题意知$f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin(x-\frac{\pi}{3})$，当$x\in[0,\pi]$时，$x-\frac{\pi}{3}\in[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$，$\therefore\sin(x-\frac{\pi}{3})\in[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，于是$f(x)\in[-\sqrt{3},2]$，故$f(x)$在$[0,\pi]$上的最大值为2.

5. (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$，如图$A$，$B$是直线$y=\frac{1}{2}$与曲线$y = f(x)$的两个交点，若$\vert AB\vert=\frac{\pi}{6}$，则$f(\pi)=$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

答案： 5.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 设$A(x_1,\frac{1}{2}),B(x_2,\frac{1}{2})$，
由$\vert AB\vert=\frac{\pi}{6}$可得$x_2-x_1=\frac{\pi}{6}$，
由$\sin x=\frac{1}{2}$可知，$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$或$x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
由图可知，$\omega x_2+\varphi-(\omega x_1+\varphi)=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$，
即$\omega(x_2-x_1)=\frac{2\pi}{3}$，$\therefore\omega=4$.
因为$f(\frac{2\pi}{3})=\sin(\frac{8\pi}{3}+\varphi)=0$，
所以$\frac{8\pi}{3}+\varphi=k\pi,k\in\mathbf{Z}$.
即$\varphi=-\frac{8\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$.
所以$f(x)=\sin(4x-\frac{8\pi}{3}+k\pi)$
$=\sin(4x-\frac{2\pi}{3}+k\pi)$，
所以$f(x)=\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$
或$f(x)=-\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$，
又因为$f(0)＜0$，
所以$f(x)=\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$，
$\therefore f(\pi)=\sin(4\pi-\frac{2\pi}{3}\pi)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

例 1 (多选)(2025·杭州统考)为了得到函数$y = 2\cos 2x$的图象，只要把函数$y = 2\sin(2x - \frac{\pi}{6})$图象上所有的点(AD)

A.向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
B.向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
C.向左平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度
D.向右平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度

答案： 【例1】 AD 把函数$y=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})$图象上所有的点向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，可得函数$y=2\sin(2x+\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6})=2\sin(2x+\frac{\pi}{2})=2\cos2x$的图象，A正确；把函数$y=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})$图象上所有的点向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，可得函数$y=2\sin(2x-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6})=2\sin(2x-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2})=-2\cos(2x-\frac{\pi}{3})$的图象，B错误；把函数$y=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})$图象上所有的点向左平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度，可得函数$y=2\sin(2x+\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6})=2\sin(2x-\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{2})=-2\cos(2x-\frac{\pi}{3})$的图象，C错误；把函数$y=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})$图象上所有的点向右平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度，可得函数$y=2\sin(2x-\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6})=2\sin(2x-\frac{3\pi}{2})=2\cos2x$的图象，D正确.

(1)(2025·岳阳质检)已知函数$f(x)=\sin x + a\cos x$的一个零点是$\frac{\pi}{3}$，将函数$y = f(2x)$的图象向左平移$\frac{5\pi}{12}$个单位长度后所得图象的解析式为(D)

A.$y = 2\sin(2x - \frac{7\pi}{6})$
B.$y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{12})$
C.$y = -2\cos 2x$
D.$y = 2\cos 2x$

答案： 训练1
(1)D 依题意，$f(\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{3}+a\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}a=0$，解得$a=-\sqrt{3}$，所以$f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin(x-\frac{\pi}{3})$.则$f(2x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})$的图象向左平移$\frac{5\pi}{12}$个单位长度得到$y=2\sin[2(x+\frac{5\pi}{12})-\frac{\pi}{3}]=2\sin(2x+\frac{\pi}{2})=2\cos2x$的图象.故选D.