《2026年学易优高考二轮总复习数学》

训练 1 (1)(2025·枣庄模拟)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 700 里路，则该马第五天行走的里程数约为(D)
A.2.76
B.5.51
C.11.02
D.22.05

答案： 训练1
(1)D 设该马第$n(n\in N^*)$天行走的里程数为$a_n$，
由题意可知，数列$\{a_n\}$是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
所以该马七天所走的里程为$\frac{a_1(1-\frac{1}{2^7})}{1-\frac{1}{2}}=\frac{127a_1}{64}=700$，解
得$a_1=\frac{2^7×350}{127}$
故该马第五天行走的里程数为$a_5=a_1·\frac{1}{2^4}=\frac{2^7×350}{127}×\frac{1}{2^4}=\frac{2800}{127}\approx22.05$.

(2)(2025·厦门调研)等差数列 $ \{ a_n \} $，$ \{ b_n \} $ 的前 $ n $ 项和分别为 $ S_n $，$ T_n $，$ \frac{S_n}{T_n} = \frac{3n - 2}{2n + 1} $，$ a_1 = 2 $，则 $ \{ b_n \} $ 的公差为8.

答案：
(2)8 $\frac{S_n}{T_n}=\frac{3n-2}{2n+1}$，
$\therefore$可设$S_n=kn(3n-2)$，$T_n=kn(2n+1)$，$k\neq0$.
又$\because2=a_1=S_1=k×1×(3×1-2)$，$\therefore k=2$，
$\therefore T_1=4+2=6=b_1$，
$T_2=16+4=20=b_1+b_2=6+b_2$，
$\therefore b_2=14$，$b_2-b_1=14-6=8$，即$\{b_n\}$的公差为$8$.

例 2 (1)(多选)设 $ S_n $ 是公差为 $ d $($ d \neq 0 $)的无穷等差数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和，则下列命题正确的是(BD)

A.若 $ d ＜ 0 $，则 $ S_1 $ 是数列 $ \{ S_n \} $ 的最大项
B.若数列 $ \{ S_n \} $ 有最小项，则 $ d ＞ 0 $
C.若数列 $ \{ S_n \} $ 是递减数列，则对任意的 $ n \in \mathbf{N}^* $，均有 $ S_n ＜ 0 $
D.若对任意的 $ n \in \mathbf{N}^* $，均有 $ S_n ＞ 0 $，则数列 $ \{ S_n \} $ 是递增数列

答案： 【例2】
(1)BD 取数列$\{a_n\}$为首项为$4$，公差为$-2$的等差
数列，$S_1=4＜S_2=6$，故A错误；等差数列$\{a_n\}$中，公差$d\neq0$，$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，$S_n$是关于$n$
的二次函数.当数列$\{S_n\}$有最小项，即$S_n$有最小值时，$S_n$
对应的二次函数图象开口向上，$d＞0$，B正确；取数列$\{a_n\}$为首项为$1$，公差为$-2$的等差数列，
$S_n=-n^2+2n$，
$S_{n+1}-S_n=-(n+1)^2+2(n+1)-(-n^2+2n)=-2n+1＜0$，
即$S_{n+1}＜S_n$恒成立，此时数列$\{S_n\}$是递减数列，而$S_1=1＞0$，故C错误；若数列$\{S_n\}$是递减数列，则$a_n=S_n-S_{n-1}＜0(n\geq2)$，一定存在实数$k$，当$n＞k$时，之后所有项
都为负数，不能保证对任意$n\in N^*$，均有$S_n＞0$.故若对任
意$n\in N^*$，均有$S_n＞0$，则数列$\{S_n\}$是递增数列，故D
正确.

(2)(2025·合肥质检)已知等比数列 $ \{ a_n \} $ 的首项为 1，且 $ a_6 + a_4 = 2(a_3 + a_1) $，则 $ a_1a_2a_3 ·s a_7 = $128.

答案：
(2)128 设比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，因为$a_6+a_4=2(a_3+a_1)$，所以$q^3=\frac{a_6+a_4}{a_3+a_1}=2$，所以$a_4=a_1· q^3=2$.由
等比数列的性质得$a_1a_2a_3·s a_7=a_4^7=2^7=128$.

训练 2 (1)(2025·江苏南通三模)在等比数列 $ \{ a_n \} $ 中，$ a_5 · a_6 · a_7 = 8 $，$ a_2 + a_6 = 20 $，则 $ a_4 = $(D)
A.36
B.$ \pm 6 $
C.-6
D.6

答案： 训练2
(1)D 等比数列$\{a_n\}$中$a_5a_6a_7=a_6^3=8$，$\therefore a_6=2$，
$a_2=18$，$\therefore a_4=\pm\sqrt{a_2a_6}=\pm6$，由于$a_2＞0$，故$a_4＞0$，所以
$a_4=6$，故选D.

(2)(多选)(2025·苏州模拟)设等比数列 $ \{ a_n \} $ 的公比为 $ q $，其前 $ n $ 项和为 $ S_n $，前 $ n $ 项积为 $ T_n $，并且满足条件 $ a_1 ＞ 1 $，$ a_6a_7 ＞ 1 $，$ \frac{a_6 - 1}{a_7 - 1} ＜ 0 $，则下列结论正确的是(BD)

A.$ q ＞ 1 $
B.$ 0 ＜ a_6a_8 ＜ 1 $
C.$ S_n $ 的最大值为 $ S_7 $
D.$ T_n $ 的最大值为 $ T_6 $

答案：
(2)BD 由条件$a_1＞1$，$a_6a_7＞1$，$\frac{a_6-1}{a_7-1}＜0$，可得$a_6＞1$，
$0＜a_7＜1$，$\therefore\frac{a_7}{a_6}=q\in(0,1)$，并且$a_n=a_1q^{n-1}＞0$，$a_1＞a_2＞·s＞a_n$，即$\{a_n\}$是递减的正项数列，A错误；
$\therefore0＜a_6a_8=a_2^3＜1$，B正确；$S_n-S_{n-1}=a_n＞0$，即$S_n＞S_{n-1}$对任意的$n\in N^*$都成立，C错误；当$n\geq7$时，$a_n＜1$；当$1\leq n\leq6$时，$a_n＞1$，$\therefore T_6$是$T_n$的最大值，D正确.

例 3 (2025·四川攀枝花三模)已知数列 $ \{ a_n \} $ 的首项 $ a_1 = 1 $，$ a_n + a_{n + 1} = 3 × 2^n $.
(1)求证：$ \{ a_n - 2^n \} $ 是等比数列；
(2)求数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和 $ S_n $；

答案： 【例3】 解：
(1)因为$a_n+a_{n+1}=3×2^n$，
所以$a_{n+1}-2^{n+1}=-(a_n-2^n)$，
又$a_1=1$，所以$a_1-2=-1$，
所以$\{a_n-2^n\}$是以$-1$为首项，$-1$为公比的等比数列；
(2)由
(1)可得$a_n-2^n=(-1)^n$，
所以$S_n=2^1+(-1)^1+2^2+(-1)^2+·s+2^n+(-1)^n=(2^1+2^2+·s+2^n)+[(-1)^1+(-1)^2+·s+(-1)^n]=\frac{2(1-2^n)}{1-2}+-1[1-(-1)^n]=\frac{2^{n+1}-2+-1+(-1)^n}{2}$