《2026年学易优高考二轮总复习数学》

训练1 某工厂 A，B 两条生产线生产同款产品，若每件可分别获利 10 元、8 元、6 元，现从 A，B 生产线生产的产品中各随机抽取 100 件进行检测，结果统计如图：
(1)分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定；
(2)估计该厂产品产量为 2 000 件时的利润以及一等级产品的利润.

答案： 训练1 解：
(1)从A生产线随机抽取的100件产品获利的平均数$\overline{x_1}=\frac{1}{100}×(10×20 + 8×60 + 6×20)=8$（元），方差为
$s_{1}^{2}=\frac{1}{100}×[(10 - 8)^2×20+(8 - 8)^2×60+(6 - 8)^2×20]=1.6$，
从B生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为$\overline{x_2}=\frac{1}{100}×(10×35 + 8×40 + 6×25)=8.2$（元），方差为
$s_{2}^{2}=\frac{1}{100}×[(10 - 8.2)^2×35+(8 - 8.2)^2×40+(6 - 8.2)^2×25]=2.36$，所以$s_{1}^{2}＜s_{2}^{2}$，则A生产线的获利更稳定．
(2)从A，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为$\frac{1}{200}×[10×(20 + 35)+8×(60 + 40)+6×(20 + 25)]=8.1$（元），
由样本估计总体，当产品产量为2000件时，估计该工厂获利$2000×8.1 = 16200$（元）．
因为从A，B生产线共随机抽取的200件产品中，A生产线生产的一等级产品有20件，B生产线生产的一等级产品有35件，
由样本频率估计总体概率，得该工厂生产产品为一等级产品的概率估计值为$\frac{20 + 35}{200}=\frac{11}{40}$，
当产品产量为2000件时，估计该工厂一等级产品获利$2000×\frac{11}{40}×10 = 5500$（元）．

例3 (2025·山东烟台三模)近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧.某机构为研究汽油价格 $x$(单位：元/升)与新能源汽车的月销售量 $y$(单位：万辆)之间的关系，收集整理得到如下数据：

(1)若用模型 $y = b\ln x + a$ 模拟 $x$ 与 $y$ 之间关系，求出回归方程；
(2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至 9 元/升时，新能源汽车的销量；
(3)假设当汽油价格为 9 元/升时，实际销量超过预测值的概率为 0.6.现进行 5 次独立观测，记这 5 次观测中销量超过预测值的次数为 $\xi$，求 $\xi$ 的数学期望.
参考数据和公式：$\ln 3 \approx 1.1.\sum_{i = 1}^{5}(x_{i} - \bar{x})(y_{i} - \bar{y}) = 6.55,\sum_{i = 1}^{5}(x_{i} - \bar{x})^{2} = 2.5$.
令 $\ln x_{i} = u_{i},\sum_{i = 1}^{5}u_{i} = 9.7,\sum_{i = 1}^{5}(u_{i} - \bar{u})(y_{i} - \bar{y}) = 0.93,\sum_{i = 1}^{5}(u_{i} - \bar{u})^{2} = 0.05$.
对于一组数据 $(x_{i},y_{i})(i = 1,2,3,·s,n)$，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i} - \bar{x})(y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i} - \bar{x})^{2}},\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$.

答案： 【例3】 解：
(1)因为$\ln x_i = u_i$，则$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}(u_i - \overline{u})(\hat{y}_i - \overline{y})}{\sum_{i = 1}^{5}(u_i - \overline{u})^2}=\frac{0.93}{0.05}=18.6$，
又$\overline{y}=\frac{1.5 + 2 + 3 + 4.5 + 6.8}{5}=3.56$，$\overline{u}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}u_i}{5}=\frac{9.7}{5}=1.94$，
由$\hat{y}=\hat{b}u+\hat{a}$得，$3.56 = 18.6×1.94+\hat{a}$，解得$\hat{a}=-32.524$，
所以回归方程为$\hat{y}=18.6\ln x - 32.524$．
(2)当$x = 9$时，代入回归方程可得
$\hat{y}=18.6×\ln9 - 32.524\approx18.6×2.3 - 32.524 = 8.666$，
价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量约为8.666万辆．
(3)由题知，$\xi\sim B(5,0.6)$，所以$E(\xi)=5×0.6 = 3$，即$\xi$的数学期望为3．